Tính \(S\) là tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({4.2^{2x}} - {4.2^x} + {4.2^{ - 2x}} - {4.2^{ - x}} - 7 = 0\)

\({4.2^{2x}} - {4.2^x} + {4.2^{ - 2x}} - {4.2^{ - x}} - 7 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4.\left( {{2^{2x}} + {2^{ - 2x}}} \right) - 4.\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right) - 7 = 0\)

Đặt \(t = {2^x} + {2^{ - x}}\), suy ra \({t^2} = {2^{2x}} + {2^{ - 2x}} + 2\).

Ta có \(t = {2^x} + {2^{ - x}}\mathop  \ge \limits^{{\rm{Cauchy}}} 2\sqrt {{2^x}{{.2}^{ - x}}}  = 2\).

Phương trình trở thành \(4\left( {{t^2} - 2} \right) - 4t - 7 = 0\)\( \Leftrightarrow 4{t^2} - 4t - 15 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{5}{2}\left( {TM} \right)\\t =  - \dfrac{3}{2}\left( L \right)\end{array} \right.\)

\(t = \dfrac{5}{2} \Rightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = \dfrac{5}{2}\)\( \Leftrightarrow {2^x} + \dfrac{1}{{{2^x}}} = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow {2.2^{2x}} - {5.2^x} + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 2\\{2^x} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 = {x_1}\\x =  - 1 = {x_2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S = {x_1} + {x_2} = 0.\)