Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thuộc \(\left[ { - 2020;2020} \right]\) sao cho phương trình \({4^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\) có bốn nghiệm phân biệt?

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{4^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {4^{{x^2} - 2x + 1}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {4.4^{{x^2} - 2x}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {2^{{x^2} - 2x}}\). Ta có: \({x^2} - 2x = {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \ge  - 1\) \( \Rightarrow t \ge {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành \(4{t^2} - 4m.t + 3m - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)\) với \(t \ge \dfrac{1}{2}\).

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm \(t\) phân biệt thỏa mãn \(t > \dfrac{1}{2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 1\\\left( {{t_1} - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{t_2} - \dfrac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 4\left( {3m - 2} \right) > 0\\m > 0\\\dfrac{{3m - 2}}{4} - \dfrac{1}{2}.m + \dfrac{1}{4} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 12m + 8 > 0\\m > 0\\3m - 2 - 2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m > 0\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\end{array}\)

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left( {2;2020} \right]\).

Vậy có \(2020 - 3 + 1 = 2018\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.