Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104

Có bao nhiêu số nguyên $y$ sao cho tồn tại $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$ thỏa mãn ${27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{18x}}$

Ta có: ${27^{3{x^2} + xy - 18x}} = xy + 1$

ĐK: $xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y >  - \dfrac{1}{x}$ khi $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$$\Rightarrow y >  - 3$ thì mới tồn tại $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$.

Xét ${27^{3{x^2} + xy - 18x}} - xy - 1 = 0$

Đặt $f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 18x}} - xy - 1$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 17}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 6 \right) = {27^{6y}} - 6y - 1\end{array} \right.$

Nhận thấy $f\left( 6 \right) \ge 0\,\forall \,y \in \mathbb{Z}$. Dấu bằng xảy ra khi $y = 0$.

Xét $y = 0$ thay vào phương trình ban đầu $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\end{array} \right.$ loại vì $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$

Xét $y \ne 0 \Rightarrow f\left( 6 \right) > 0\,\forall \,x \in \mathbb{Z}*$

Ta table khảo sát $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)$ ta rút ra được $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;17;18} \right\}$.

Ta có: $f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 6 \right) < 0\,\forall \,y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;18} \right\}$

Có $20$ giá trị của $y$ để tồn tại nghiệm $x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)$

Từ bảng Table ta nhận thấy khi $y \ge 19$ thì phương trình vô nghiệm.

$g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 18} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 19\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)\end{array} \right.$

Vậy có $20$ giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn.