Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104

Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho tồn tại \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)\) thỏa mãn \({27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{18x}}\)

Ta có: \({27^{3{x^2} + xy - 18x}} = xy + 1\)

ĐK: \(xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y >  - \dfrac{1}{x}\) khi \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)\)\( \Rightarrow y >  - 3\) thì mới tồn tại \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)\).

Xét \({27^{3{x^2} + xy - 18x}} - xy - 1 = 0\)

Đặt \(f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 18x}} - xy - 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 17}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 6 \right) = {27^{6y}} - 6y - 1\end{array} \right.\)

Nhận thấy \(f\left( 6 \right) \ge 0\,\forall \,y \in \mathbb{Z}\). Dấu bằng xảy ra khi \(y = 0\).

Xét \(y = 0\) thay vào phương trình ban đầu \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\end{array} \right.\) loại vì \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)\)

Xét \(y \ne 0 \Rightarrow f\left( 6 \right) > 0\,\forall \,x \in \mathbb{Z}*\)

Ta table khảo sát \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)\) ta rút ra được \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;17;18} \right\}\).

Ta có: \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 6 \right) < 0\,\forall \,y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;18} \right\}\)

Có \(20\) giá trị của \(y\) để tồn tại nghiệm \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)\)

Từ bảng Table ta nhận thấy khi \(y \ge 19\) thì phương trình vô nghiệm.

\(g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 18} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 19\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};6} \right)\end{array} \right.\)

Vậy có \(20\) giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn.