Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc $\left[ { - 2020;2020} \right]$ sao cho phương trình ${4^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0$ có bốn nghiệm phân biệt?

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{4^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {4^{{x^2} - 2x + 1}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {4.4^{{x^2} - 2x}} - 4m{.2^{{x^2} - 2x}} + 3m - 2 = 0\end{array}$

Đặt $t = {2^{{x^2} - 2x}}$. Ta có: ${x^2} - 2x = {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 \ge  - 1$ $\Rightarrow t \ge {2^{ - 1}} = \dfrac{1}{2}$.

Khi đó phương trình trở thành $4{t^2} - 4m.t + 3m - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)$ với $t \ge \dfrac{1}{2}$.

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm $t$ phân biệt thỏa mãn $t > \dfrac{1}{2}$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 1\\\left( {{t_1} - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{t_2} - \dfrac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 4\left( {3m - 2} \right) > 0\\m > 0\\\dfrac{{3m - 2}}{4} - \dfrac{1}{2}.m + \dfrac{1}{4} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 12m + 8 > 0\\m > 0\\3m - 2 - 2m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.\\m > 0\\m > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\end{array}$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $m \in \left( {2;2020} \right]$.

Vậy có $2020 - 3 + 1 = 2018$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.