Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}} = m \cdot {3^{{{\sin }^2}x}}\) có nghiệm?

Bước 1: Biến đổi \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\) và thay vào phương trình.

Ta có \({2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}} = m \cdot {3^{{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow {2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{1 - {{\sin }^2}x}} = m \cdot {3^{{{\sin }^2}x}}\).

Bước 2: Đặt \(t = {\sin ^2}x,t \in [0;1]\). Chia cả 2 vế cho \({3^t}\)

Đặt \(t = {\sin ^2}x,t \in [0;1]\). Phương trình đã cho trở thành

\({2^t} + {3^{1 - t}} = m{.3^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} + {3^{1 - 2t}} = m\)

Bước 3: Xét  hàm số \(f(t) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} + {3^{1 - 2t}}\), với \(t \in [0;1]\). Tìm m.

Xét hàm số \(f(t) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} + {3^{1 - 2t}}\), với \(t \in [0;1]\). Ta có \(f'(t) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t}.\ln \dfrac{2}{3} - {2.3^{1 - 2t}}.\ln 3\) \(f''(t) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} \cdot {\left( {\ln \dfrac{2}{3}} \right)^2} + {4.3^{1 - 2t}} \cdot {(\ln 3)^2} > 0\)\(\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)

\( \Rightarrow {f^\prime }(t)\) liên tục và đồng biến trên [0 ; 1] nên \({f^\prime }(t) \le {f^\prime }(1) = \dfrac{2}{3}\ln \dfrac{2}{9} < 0,\forall t \in [0;1]\).

\( \Rightarrow {f^\prime }(t)<0\forall t \in [0;1]\)

\( \Rightarrow f(t)\) liên tục và nghịch biến trên [0 ; 1] nên \(f(1) \le f(t) \le f(0),\forall t \in [0;1]\)

Suy ra \(1 \le m \le 4\).

Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn.