Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình ${2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}} = m \cdot {3^{{{\sin }^2}x}}$ có nghiệm?

Bước 1: Biến đổi ${\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x$ và thay vào phương trình.

Ta có ${2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{{{\cos }^2}x}} = m \cdot {3^{{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow {2^{{{\sin }^2}x}} + {3^{1 - {{\sin }^2}x}} = m \cdot {3^{{{\sin }^2}x}}$.

Bước 2: Đặt $t = {\sin ^2}x,t \in [0;1]$. Chia cả 2 vế cho ${3^t}$

Đặt $t = {\sin ^2}x,t \in [0;1]$. Phương trình đã cho trở thành

${2^t} + {3^{1 - t}} = m{.3^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} + {3^{1 - 2t}} = m$

Bước 3: Xét  hàm số $f(t) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} + {3^{1 - 2t}}$, với $t \in [0;1]$. Tìm m.

Xét hàm số $f(t) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} + {3^{1 - 2t}}$, với $t \in [0;1]$. Ta có $f'(t) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t}.\ln \dfrac{2}{3} - {2.3^{1 - 2t}}.\ln 3$ $f''(t) = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^t} \cdot {\left( {\ln \dfrac{2}{3}} \right)^2} + {4.3^{1 - 2t}} \cdot {(\ln 3)^2} > 0$$\forall t \in \left[ {0;1} \right]$

$\Rightarrow {f^\prime }(t)$ liên tục và đồng biến trên [0 ; 1] nên ${f^\prime }(t) \le {f^\prime }(1) = \dfrac{2}{3}\ln \dfrac{2}{9} < 0,\forall t \in [0;1]$.

$\Rightarrow {f^\prime }(t)<0\forall t \in [0;1]$

$\Rightarrow f(t)$ liên tục và nghịch biến trên [0 ; 1] nên $f(1) \le f(t) \le f(0),\forall t \in [0;1]$

Suy ra $1 \le m \le 4$.

Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn.