Tích các nghiệm của phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 14\) là:

Ta có: \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = {2^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 1 \) \(\Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x}{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = 1\) \( \Leftrightarrow {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^x} = \dfrac{1}{{{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^x}}} =   {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}},\)

Khi đó phương trình có dạng \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} + {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}} = 14.\)

Đặt \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right),\) phương trình trở thành \(\begin{array}{l}t + {t^{ - 1}} = 14 \Leftrightarrow t + \dfrac{1}{t} = 14 \Leftrightarrow {t^2} - 14t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t_1} = 7 + 4\sqrt 3  = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2}\\{t_2} = 7 - 4\sqrt 3  = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 2}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2}\\{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^x} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 2\\{x_2} =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow {x_1}{x_2} =  - 4.\end{array}\)