Phương trình logarit và một số phương pháp giải

ĐKXĐ: \(x > 0\)

Ta có: \({\log _5}\left( {3x} \right) = 2 \Leftrightarrow 3x = {5^2} \Leftrightarrow 3x = 25 \Leftrightarrow x = \dfrac{{25}}{3}\)

ĐKXĐ: \(x >  - 1\).

Ta có: \(m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0 \Leftrightarrow m\ln \left( {x + 1} \right) = x + 2\) (1)

Dễ dàng kiểm tra \(x = 0\) không phải nghiệm của phương trình trên.

Với \(x \ne 0\), phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{{x + 2}}{{\ln \left( {x + 1} \right)}}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + 2}}{{\ln \left( {x + 1} \right)}}\,\,\left( {x >  - 1,\,\,x \ne 0} \right)\) ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right) - \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}}}{{{{\ln }^2}\left( {x + 1} \right)}}\)

Nhận xét: Trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\), hàm số \(y = \ln (x + 1)\) đồng biến, hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}\) nghịch biến

\( \Rightarrow g\left( x \right) = \ln \left( {x + 1} \right) - \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} = 0\) (2) có tối đa 1 nghiệm trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Mà \(g\left( 2 \right) = \ln 3 - \dfrac{4}{3} < 0,\,\,g\left( 4 \right) = \ln 5 - \dfrac{6}{5} > 0 \Rightarrow \) PT (2) có nghiệm duy nhất  \({x_0} \in \left( {2;4} \right)\).

Ta có BBT của \(f\left( x \right)\) trên 2 khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\) như sau:

\(\left( {\dfrac{4}{{\ln 3}} \approx 3,64,\,\,\dfrac{6}{{\ln 5}} \approx 3,73} \right)\)

Như vậy, để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}\) thì \(m > \dfrac{6}{{\ln 5}} \approx 3,73\,\).

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Đặt \(t = {\log _2}x\), phương trình trở thành \({t^2} - \left( {5m + 1} \right)t + 4{m^2} + m = 0\,\,\,\left( * \right).\)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) cũng phải có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta  > 0\\ \Rightarrow {\left( {5m + 1} \right)^2} - 4\left( {4{m^2} + m} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 25{m^2} + 10m + 1 - 16{m^2} - 4m > 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} + 6m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {3m + 1} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow m \ne  - \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{5m + 1 + 3m + 1}}{2} = 4m + 1\\{t_2} = \dfrac{{5m + 1 - 3m - 1}}{2} = m\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {2^{4m + 1}}\\{x_2} = {2^m}\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có \({x_1} + {x_2} = 165 \Leftrightarrow {2^{4m + 1}} + {2^m} = 165 \Leftrightarrow 2.{\left( {{2^m}} \right)^4} + {2^m} = 165\).

Đặt \(u = {2^m} > 0\), phương trình trở thành \(2{u^4} + u - 165 = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {u - 3} \right)\left( {2{u^3} + 6{u^2} + 18u + 55} \right) = 0\\ \Leftrightarrow u = 3\,\,\left( {Do\,\,u > 0 \Rightarrow 2{u^3} + 6{u^2} + 18u + 55 > 0} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {2^m} = 3 \,\, (tm)\).

\( \Rightarrow {x_1} = 2.{\left( {{2^m}} \right)^4} = 162,\,\,{x_2} = {2^m} = 3\).  

Vậy \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {162 - 3} \right| = 159\).

Phương trình $ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{x} = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 - \sqrt 2  = {x_1}\\x = 2 + \sqrt 2  = {x_2}\end{array} \right..$

\( \Rightarrow P = {x_1}{x_2} = \left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 4 - 2 = 2.\)

Đặt \(t = {\log _2}x\). Với \(x \in \left( {0;1} \right)\) \( \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;0} \right)\).

Khi đó phương trình trở thành \({t^2} + t + m = 0\) với \(t \in \left( { - \infty ;0} \right)\) \( \Leftrightarrow m =  - {t^2} - t\,\,\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right)\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) =  - {t^2} - t\) ta có: \(f'\left( t \right) =  - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{1}{2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy \(\left( * \right) \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{4}\).

Điều kiện: $x > 0.$

Phương trình $ \Leftrightarrow \log {\left( {x + 2} \right)^2} + \log 4 = \log x + \log 81 \Leftrightarrow \log \left[ {4{{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right] = \log \left( {81x} \right)$

$ \Leftrightarrow 4{\left( {x + 2} \right)^2} = 81x$$ \Leftrightarrow 4{x^2} - 65x + 16 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4} = {x_1}\left( {TM} \right)\\x = 16 = {x_2}\left( {TM} \right)\end{array} \right.$ $ \Rightarrow P = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{1}{{4.16}} = \dfrac{1}{{64}}$

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 3.\)

Phương trình $ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 3} \right) + 2{\log _4}x = 2$$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 3} \right) + {\log _2}x = 2$

$ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {x - 3} \right)x} \right] = 2$$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)x = {2^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\left( L \right)\\x = 4\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

Phương trình $ \Leftrightarrow x\left( {5 - x} \right) = 6 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right..$

Phương trình $ \Leftrightarrow x - 3\sqrt x  + 4 = 8 \Leftrightarrow x - 3\sqrt x  - 4 = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  =  - 1\left( {VN} \right)\\\sqrt x  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 16.$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x > 0\\{\log _4}x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1$.

Phương trình $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\left( {\dfrac{1}{2}{{\log }_2}x} \right) = 2$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\dfrac{1}{2} + {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 2$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) - 1 + {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 2$$ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}{\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 3 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 2$

$ \Leftrightarrow {\log _2}x = 4 \Leftrightarrow x = 16\left( {TM} \right).$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

Điều kiện: $0 < x \ne 1$.

Phương trình $ \Leftrightarrow {\log _2}x - 6{\log _x}2 = 1.$

Đặt $t = {\log _2}x{\rm{ }}\left( {t \ne 0} \right)$, phương trình trở thành $t - \dfrac{6}{t} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} - t - 6 = 0\\t \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t =  - 2\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 3\\{\log _2}x =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8 = {x_1}\\x = \dfrac{1}{4} = {x_2}\end{array} \right.$ $ \Rightarrow P = {x_1}{x_2} = 2$

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - 1} \right) \Leftrightarrow {\log _{\dfrac{1}{2}}}x = {\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = {x^2} - x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} - 2x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \end{array}\)

Tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ {1 + \sqrt 2 } \right\}\).

Điều kiện: $x > 0.$

Phương trình $ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ { - {{\log }_2}x + {{\log }_2}x + x + 1} \right] = 3$

$ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3$ $ \Leftrightarrow x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = 7\left( {TM} \right)$

Điều kiện: $x > 1.$

Phương trình $ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {x - 1} \right) - {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 1$$ \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^2} = 1 + {\log _2}\left( {x + 1} \right)$

$ \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^2} = {\log _2}\left[ {2\left( {x + 1} \right)} \right]$$ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left( {x + 1} \right)$

$ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 5 \left( {TM} \right)\\x = 2 - \sqrt 5 \left( L \right)\end{array} \right.$ $ \Rightarrow S = \left\{ {2 + \sqrt 5 } \right\}$

Điều kiện: \(x > 0\).

Phương trình $ \Leftrightarrow \log x\left( {\log 100 + \log {x^2}} \right) = 4$$ \Leftrightarrow \log x\left( {2 + 2\log x} \right) = 4$

$ \Leftrightarrow 2{\log ^2}x + 2\log x - 4 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log x = 1\\\log x =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\left( {TM} \right)\\x = \dfrac{1}{{100}}\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

Suy ra \({x_1} = 10\) và \({x_2} = 100\) nên \({x_2} = x_1^2\).

ĐK: \({5^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow {5^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0\)

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _4}\left( {{{2.5}^x} - 2} \right) = m\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{{2^2}}}\left[ {2\left( {{5^x} - 1} \right)} \right] = m\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right).\dfrac{1}{2}\left[ {{{\log }_2}2 + {{\log }_2}\left( {{5^x} - 1} \right)} \right] = m\\ \Leftrightarrow \log _2^2\left( {{5^x} - 1} \right) + {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) = 2m\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right)\), với \(x \ge 1\) ta có \({5^x} \ge 5 \Rightarrow {5^x} - 1 \ge 4 \Rightarrow {\log _2}\left( {{5^x} - 1} \right) \ge {\log _2}4 = 2\)

Khi đó phương trình trở thành \({t^2} + t = 2m\,\,\left( {t \ge 2} \right)\,\,\,\left( * \right)\). Để phương trình ban đầu có nghiệm \(x \ge 1\) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm \(t \ge 2\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} + t\) trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\), ta có \(f'\left( t \right) = 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{1}{2}\). Lập BBT

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có nghiệm \(t \ge 2\) khi và chỉ khi \(2m \ge 6 \Leftrightarrow m \ge 3 \Rightarrow m \in \left[ {3; + \infty } \right)\)

Điều kiện: $x > 0$.

Phương trình $ \Leftrightarrow {\left( { - 2 - {{\log }_3}x} \right)^2} + {\log _3}{x^2} - {\log _3}81 - 7 = 0$

$ \Leftrightarrow \log _3^2x + 6{\log _3}x - 7 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 1\\{\log _3}x =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 = {x_1}\left( {TM} \right)\\x = {3^{ - 7}} = {x_2}\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

\( \Rightarrow P = {x_1}{x_2} = {3.3^{ - 7}} = {3^{ - 6}} = \dfrac{1}{{{3^6}}} = \dfrac{1}{{{9^3}}}.\)

Ta có: \({\log _3}\left( {x - 2} \right) = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 > 0\\x - 2 = {3^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 11\).

ĐK: x > 0

Đặt \(t = {\log _3}x\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - \left( {m + 2} \right)t + 3m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\).

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta  > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 8 > 0\\ \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;4 - 2\sqrt 2 } \right) \cup \left( {4 + 2\sqrt 2 ; + \infty } \right)\end{array}\)

Ta có \({t_1} + {t_2} = {\log _3}{x_1} + {\log _3}{x_2} = {\log _3}\left( {{x_1}{x_2}} \right) = {\log _3}27 = 3\)

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \({t_1} + {t_2} = 3 \Leftrightarrow  - \dfrac{b}{a} = 3 \Leftrightarrow m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1\,\,\left( {tm} \right)\)

Điều kiện: \(x > 0\).

Phương trình $ \Leftrightarrow {\log _{2017}}x + {\log _{2016}}2017.{\log _{2017}}x = 0$$ \Leftrightarrow {\log _{2017}}x.\left( {1 + {{\log }_{2016}}2017} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow {\log _{2017}}x = 0 \Leftrightarrow x = 1.$