Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\log _3^2x - \left( {m + 2} \right){\log _3}x + 3m - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}{x_2} = 27\) ?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
ĐK: x > 0
Đặt \(t = {\log _3}x\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - \left( {m + 2} \right)t + 3m - 1 = 0\,\,\left( * \right)\).
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 8 > 0\\ \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;4 - 2\sqrt 2 } \right) \cup \left( {4 + 2\sqrt 2 ; + \infty } \right)\end{array}\)
Ta có \({t_1} + {t_2} = {\log _3}{x_1} + {\log _3}{x_2} = {\log _3}\left( {{x_1}{x_2}} \right) = {\log _3}27 = 3\)
Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \({t_1} + {t_2} = 3 \Leftrightarrow - \dfrac{b}{a} = 3 \Leftrightarrow m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1\,\,\left( {tm} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Đặt \(t = {\log _3}x\), đưa về phương trình bậc 2 ẩn t.
Từ điều kiện \({x_1}{x_2} = 27\), tìm điều kiện tương ứng của t và tìm điều kiện của m để phương trình bậc 2 của t thỏa mãn điều kiện đó
