Đề thi THPT QG 2019 – mã đề 104

Cho phương trình \({\log _9}{x^2} - {\log _3}\left( {4x - 1} \right) =  - {\log _3}m\)  (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm?

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\4x - 1 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x > \dfrac{1}{4}\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{4}\\m > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}{\log _9}{x^2} - {\log _3}\left( {4x - 1} \right) =  - {\log _3}m\\ \Leftrightarrow {\log _3}x - {\log _3}\left( {4x - 1} \right) + {\log _3}m = 0\\ \Leftrightarrow {\log _3}\dfrac{{mx}}{{4x - 1}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{mx}}{{4x - 1}} = 1\\ \Leftrightarrow mx = 4x - 1\,\,\left( {Do\,\,4x - 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{4x - 1}}{x} = g\left( x \right)\,\,\forall x > \dfrac{1}{4}\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm trên \(\left( {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\) của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{4x - 1}}{x} = 4 - \dfrac{1}{x}\) trên \(\left( {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\) ta có \(g'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{4}; + \infty } \right)\).

BBT:

Từ BBT ta thấy (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \in \left( {0;4} \right)\,\,\left( {tm\,\,DK\,\,m > 0} \right)\).

Kết hợp điều kiện \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\). Vậy có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.