Cho $a, b, c$ là ba số thực dương, \(a > 1\) thỏa mãn

\(\log _a^2(bc) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2}\)\( + 4 + \sqrt {9 - {c^2}}  = 0\)

Khi đó, giá trị của biểu thức \(T = a + 3b + 2c\) gần với giá nào nhất sau đây?

Áp dụng bất đẳng thức \({(x + y)^2} \ge 4xy\), ta được

\({\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2} \ge {b^4}{c^4}\)

\( \Rightarrow {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2}\)\( \ge 4{\log _a}(bc)\)

Do đó với \(\forall a > 1,b,c > 0\)                                       

\(\log _a^2(bc) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2}\)\( + 4 + \sqrt {9 - {c^2}}  \ge \log _a^2(bc)\)\( + 4{\log _a}(bc) + 4 + \sqrt {9 - {c^2}} \)

\( \Leftrightarrow \log _a^2(bc) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2}\)\( + 4 + \sqrt {9 - {c^2}} \)\( \ge {\left[ {{{\log }_a}(bc) + 2} \right]^2} + \sqrt {9 - {c^2}}  \ge 0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{b^3}{c^3} = \dfrac{{bc}}{4}\\{\log _a}\left( {bc} \right) =  - 2\\{c^2} = 9\\a > 1\\b > 0\\c > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 2 \\b = \dfrac{1}{6}\\c = 3\end{array} \right.\)

Khi đó \(T = a + 3b + 2c\)\( = \sqrt 2  + \dfrac{1}{2} + 6 \approx 7,91\)

Vậy giá trị của T gần 8 nhất.