Cho phương trình \(\log _2^2x - \left( {5m + 1} \right){\log _2}x + 4{m^2} + m = 0.\) Biết phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 165.\) Giá trị của \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\) bằng: 

ĐKXĐ: \(x > 0\).

Đặt \(t = {\log _2}x\), phương trình trở thành \({t^2} - \left( {5m + 1} \right)t + 4{m^2} + m = 0\,\,\,\left( * \right).\)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) cũng phải có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta  > 0\\ \Rightarrow {\left( {5m + 1} \right)^2} - 4\left( {4{m^2} + m} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 25{m^2} + 10m + 1 - 16{m^2} - 4m > 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} + 6m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {3m + 1} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow m \ne  - \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{5m + 1 + 3m + 1}}{2} = 4m + 1\\{t_2} = \dfrac{{5m + 1 - 3m - 1}}{2} = m\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {2^{4m + 1}}\\{x_2} = {2^m}\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có \({x_1} + {x_2} = 165 \Leftrightarrow {2^{4m + 1}} + {2^m} = 165 \Leftrightarrow 2.{\left( {{2^m}} \right)^4} + {2^m} = 165\).

Đặt \(u = {2^m} > 0\), phương trình trở thành \(2{u^4} + u - 165 = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {u - 3} \right)\left( {2{u^3} + 6{u^2} + 18u + 55} \right) = 0\\ \Leftrightarrow u = 3\,\,\left( {Do\,\,u > 0 \Rightarrow 2{u^3} + 6{u^2} + 18u + 55 > 0} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {2^m} = 3 \,\, (tm)\).

\( \Rightarrow {x_1} = 2.{\left( {{2^m}} \right)^4} = 162,\,\,{x_2} = {2^m} = 3\).  

Vậy \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {162 - 3} \right| = 159\).