Bài tập ôn tập chương 4

Giả sử $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)$, ta có ${z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi.$

Vì ${z^2}$  là số thuần ảo nên ta có ${a^2} - {b^2} = 0$  (1)

Từ điều kiện $|z| = \sqrt 2$  có ${a^2} + {b^2} = 2$  (2)

Ta có

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - {b^2} = 0}&{}\\{{a^2} + {b^2} = 2}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = 1$.

Có $4$  bộ số $\left( {a,b} \right)$  là $\left( {1,1} \right),\left( {1, - 1} \right),\left( { - 1, - 1} \right),\left( { - 1,1} \right)$.

Từ điều kiện $|z - 2 - 4i| = |z - 2i|$  ta có

$|x + yi - 2 - 4i| = |x + yi - 2i| \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {x^2} + {(y - 2)^2}$

$\Leftrightarrow  - 4x + 4 - 8y + 16 =  - 4y + 4 \Leftrightarrow  - 4x - 4y + 16 = 0 \Leftrightarrow x + y = 4 \Leftrightarrow x = 4 - y$

Ta có

$|z| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \sqrt {{{(4 - y)}^2} + {y^2}}  = \sqrt {2{y^2} - 8y + 16}  = \sqrt {2{{(y - 2)}^2} + 8}  \ge 2\sqrt 2$

Vậy $\min \left| z \right| = 2\sqrt 2$  khi $y - 2 = 0$ hay $y = 2 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow z = 2 + 2i$.

Giả sử ta có số phức $z = x + yi$. Ta có $z(1 + i) = (x + yi)(1 + i) = (x - y) + (x + y)i$

$z(1 + i)$ là số thực khi $x + y = 0$.

Ta có

$\begin{array}{l}\left| {{z^2} + 1} \right| = 2\left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {{z^2} + 1} \right|^2} = 4{\left| z \right|^2} \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {\overline {{z^2} + 1} } \right) = 4z\overline z \\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {{{\overline z }^2} + 1} \right) = 4z\overline z  \Leftrightarrow {\left( {z\overline z } \right)^2} + {z^2} + {\overline z ^2} + 1 - 4z\overline z  = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left( {z\overline z } \right)^2} - 6z\overline z  + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 =  - {\left( {z + \overline z } \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow 3 - 2\sqrt 2  \le {\left| z \right|^2} \le 3 + 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt 2  - 1 \le \left| z \right| \le \sqrt 2  + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2  - 1\\\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2  + 1\end{array} \right.\end{array}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2  - 1\\\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2  + 1\\z + \overline z  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{z_1} = \left( {\sqrt 2  - 1} \right)i\\{z_1} = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)i\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}{z_2} = \left( {\sqrt 2  + 1} \right)i\\{z_2} = \left( { - \sqrt 2  - 1} \right)i\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\sqrt 2 \\\left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\end{array} \right.$ 

Ta có: $\left| {4{z_1}{z_2} + 16{z_2}{z_3} + 9{z_1}{z_3}} \right| = \left| {{z_3}.\overline {{z_3}} .{z_1}{z_2} + {z_1}.\overline {{z_1}} .{z_2}{z_3} + {z_2}.\overline {{z_2}} .{z_1}{z_3}} \right| = \left| {{z_1}{z_2}{z_3}.\left( {\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  + \overline {{z_3}} } \right)} \right| = \left| {{z_1}{z_2}{z_3}} \right|.\left| {\overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}  + \overline {{z_3}} } \right|$

$= \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|.\left| {{z_2}} \right|.\left| {\overline {{z_1} + {z_2} + {z_3}} } \right| = 24.\left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right| = 48$

$\Rightarrow P = \left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right| = \dfrac{{48}}{{24}} = 2$