Số phức \(z\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(|z| = \sqrt 2 \) và \({z^2}\) là số thuần ảo là:
Giả sử \(z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)\), ta có \({z^2} = {a^2} - {b^2} + 2abi.\)
Vì \({z^2}\) là số thuần ảo nên ta có \({a^2} - {b^2} = 0\) (1)
Từ điều kiện \(|z| = \sqrt 2 \) có \({a^2} + {b^2} = 2\) (2)
Ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - {b^2} = 0}&{}\\{{a^2} + {b^2} = 2}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} = 1\).
Có $4$ bộ số $\left( {a,b} \right)$ là $\left( {1,1} \right),\left( {1, - 1} \right),\left( { - 1, - 1} \right),\left( { - 1,1} \right)$.
Số phức \(z = x + yi\) thỏa mãn \(|z - 2 - 4i| = |z - 2i|\) đồng thời có mô đun nhỏ nhất là:
Từ điều kiện \(|z - 2 - 4i| = |z - 2i|\) ta có
\(|x + yi - 2 - 4i| = |x + yi - 2i| \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {x^2} + {(y - 2)^2}\)
\( \Leftrightarrow - 4x + 4 - 8y + 16 = - 4y + 4 \Leftrightarrow - 4x - 4y + 16 = 0 \Leftrightarrow x + y = 4 \Leftrightarrow x = 4 - y\)
Ta có
\(|z| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{(4 - y)}^2} + {y^2}} = \sqrt {2{y^2} - 8y + 16} = \sqrt {2{{(y - 2)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \)
Vậy \(\min \left| z \right| = 2\sqrt 2 \) khi $y - 2 = 0$ hay $y = 2 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow z = 2 + 2i$.
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $z\left( {1 + i} \right)$ là số thực là:
Giả sử ta có số phức $z = x + yi$. Ta có \(z(1 + i) = (x + yi)(1 + i) = (x - y) + (x + y)i\)
\(z(1 + i)\) là số thực khi $x + y = 0$.
Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {{z^2} + 1} \right| = 2\left| z \right|\), gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Khi đó môđun lớn nhất của số phức \(w = {z_1} + {z_2}\) là:
Ta có
$\begin{array}{l}\left| {{z^2} + 1} \right| = 2\left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {{z^2} + 1} \right|^2} = 4{\left| z \right|^2} \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {\overline {{z^2} + 1} } \right) = 4z\overline z \\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {{{\overline z }^2} + 1} \right) = 4z\overline z \Leftrightarrow {\left( {z\overline z } \right)^2} + {z^2} + {\overline z ^2} + 1 - 4z\overline z = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left( {z\overline z } \right)^2} - 6z\overline z + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 = - {\left( {z + \overline z } \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow 3 - 2\sqrt 2 \le {\left| z \right|^2} \le 3 + 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 - 1 \le \left| z \right| \le \sqrt 2 + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 - 1\\\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 + 1\end{array} \right.\end{array}$
Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 - 1\\\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 + 1\\z + \overline z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{z_1} = \left( {\sqrt 2 - 1} \right)i\\{z_1} = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)i\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}{z_2} = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)i\\{z_2} = \left( { - \sqrt 2 - 1} \right)i\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\sqrt 2 \\\left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\end{array} \right.\)
Cho các số phức ${z_1},\,{z_2},\,{z_3}$ thỏa mãn điều kiện $\left| {{z_1}} \right| = 4,\left| {{z_2}} \right| = 3,\,\left| {{z_3}} \right| = 2$ và $\left| {4{z_1}{z_2} + 16{z_2}{z_3} + 9{z_1}{z_3}} \right| = 48$. Giá trị của biểu thức $P = \left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right|$ bằng
Ta có: $\left| {4{z_1}{z_2} + 16{z_2}{z_3} + 9{z_1}{z_3}} \right| = \left| {{z_3}.\overline {{z_3}} .{z_1}{z_2} + {z_1}.\overline {{z_1}} .{z_2}{z_3} + {z_2}.\overline {{z_2}} .{z_1}{z_3}} \right| = \left| {{z_1}{z_2}{z_3}.\left( {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} + \overline {{z_3}} } \right)} \right| = \left| {{z_1}{z_2}{z_3}} \right|.\left| {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} + \overline {{z_3}} } \right|$
$ = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|.\left| {{z_2}} \right|.\left| {\overline {{z_1} + {z_2} + {z_3}} } \right| = 24.\left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right| = 48$
$ \Rightarrow P = \left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right| = \dfrac{{48}}{{24}} = 2$
