Biết rằng $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}\,{\rm{d}}x}  = \dfrac{{a{e^2} + be - 12}}{{8{{\left( {e + 2} \right)}^2}}}$ với $a,\,\,b$ là các số nguyên dương. Hiệu $b - a$ bằng

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh \(40\)cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R},\) \(f(0) = 0\) và \(f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\cos x,\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {xf'(x)dx} \) bằng

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \({\left( {f'(x)} \right)^2} + f(x).f''(x) = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in R\) và \(f(0) = f'(0) = 1.\) Giá trị của \({f^2}(1)\) bằng

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$  và \(f(0) + f(1) = 0.\) Biết \(\int\limits_0^1 {{f^2}(x)dx = \dfrac{1}{2},\,\,\int\limits_0^1 {f'(x)\cos \pi xdx = \dfrac{\pi }{2}} } .\) Tính \(\int\limits_0^1 {f(x)dx.} \)

Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \(\dfrac{{AB}}{{CD}}\) bằng :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 4\) và \(f\left( x \right) = xf'\left( x \right) - 2{x^3} - 3{x^2}\). Tính giá trị \(f\left( 2 \right)\).

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;a} \right]\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right).f\left( {a - x} \right) = 1}\\{f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {0;a} \right]}\end{array}} \right.\) và \(\int\limits_0^a {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{1 + f\left( x \right)}}}  = \dfrac{{ba}}{c},\) trong đó \(b\), \(c\) là hai số nguyên dương và \(\dfrac{b}{c}\) là phân số tối giản. Khi đó \(b + c\) có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?