Sân trường THPT Chuyên Hà Giang có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m (như hình vẽ). Phần diện tích \(S_1,S_3\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \(S_2,S_4\) dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm). Biết kinh phí trồng hoa là \(150.000\) đồng/ \(m^2\), kinh phí trồng cỏ là \(100.000\) đồng/ \(m^2\). Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn).

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh \(40\)cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R},\) \(f(0) = 0\) và \(f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\cos x,\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {xf'(x)dx} \) bằng

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \({\left( {f'(x)} \right)^2} + f(x).f''(x) = 15{x^4} + 12x,\,\,\forall x \in R\) và \(f(0) = f'(0) = 1.\) Giá trị của \({f^2}(1)\) bằng

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$  và \(f(0) + f(1) = 0.\) Biết \(\int\limits_0^1 {{f^2}(x)dx = \dfrac{1}{2},\,\,\int\limits_0^1 {f'(x)\cos \pi xdx = \dfrac{\pi }{2}} } .\) Tính \(\int\limits_0^1 {f(x)dx.} \)

Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \(\dfrac{{AB}}{{CD}}\) bằng :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 4\) và \(f\left( x \right) = xf'\left( x \right) - 2{x^3} - 3{x^2}\). Tính giá trị \(f\left( 2 \right)\).

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;a} \right]\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right).f\left( {a - x} \right) = 1}\\{f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {0;a} \right]}\end{array}} \right.\) và \(\int\limits_0^a {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{1 + f\left( x \right)}}}  = \dfrac{{ba}}{c},\) trong đó \(b\), \(c\) là hai số nguyên dương và \(\dfrac{b}{c}\) là phân số tối giản. Khi đó \(b + c\) có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?