Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+10y-2z-6=0\). Cho \(m \) là số thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng \(y=m\) và \(x+z-3=0\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Tích tất cả các giá trị mà \(m\) có thể nhận được bằng:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 2;-5;1 \right)\)  bán kính \(R=\sqrt{4+25+1+6}=6\)

Giao tuyến của hai mặt phẳng \(y=m\) và \(x+z-3=0\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
y = m\\
x + z - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = m\\
z = 3 - t
\end{array} \right.\,\,\left( d \right) \)

\(\Rightarrow \) Đường thẳng (d) đi qua \(M\left( 0;m;3 \right)\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( 1;0;-1 \right)\)

Ta có:

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {IM} = \left( { - 2;m + 5;2} \right),\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right)\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}
m + 5\,\,\,\,\,2\\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1
\end{array} \right|,\left| \begin{array}{l}
2\,\,\,\,\,\, - 2\\
- 1\,\,\,\,\,\,\,1
\end{array} \right|,\left| \begin{array}{l}
- 2\,\,\,\,m + 5\\
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0
\end{array} \right|} \right)\\
= \left( { - m - 5;0; - m - 5} \right)\\
\Rightarrow \left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { - m - 5} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - m - 5} \right)}^2}} \\
= \sqrt {{{\left( {m + 5} \right)}^2} + {{\left( {m + 5} \right)}^2}} = \sqrt {2{{\left( {m + 5} \right)}^2}} = \left| {m + 5} \right|\sqrt 2
\end{array}$

Đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\Leftrightarrow d\left( I;d \right)=R\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 5} \right|\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + 5 = 6\\
m + 5 = - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = - 11
\end{array} \right.\)