Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian tọa độ $O x y z$, cho 5 điểm \(A(1;0;0),B( - 1;1;0),C(0; - 1;0\) \(D(0;1;0),E(0;3;0),M\) là điểm thay đổi trên mặt cầu \((S):{x^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 2|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} | + 3|\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} |\) là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Bước 1: Gọi điểm \(I\) thỏa mãn \(\vec A + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0\), điểm \(J\) thỏa mãn \(\overrightarrow {JD} + \overrightarrow {JE} = \vec 0\). Biểu diễn P theo \(|\overrightarrow {MI} |\) và \(|\overrightarrow {MJ} |\)
\((S)\) có tâm \(T(0;1;0)\) và bán kính \(R = 1\).
Gọi điểm \(I\) thỏa mãn \(\vec A + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0\)\( \Rightarrow I(0;0;0)\)
Điểm \(J\) thỏa mãn \(\overrightarrow {JD} + \overrightarrow {JE} = \vec 0\)\( \Rightarrow J(0;2;0)\)
Ta có: \(P = 2|\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} |\)\( + 3|\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} |\)
\( = 2|3\overrightarrow {MI} | + 3|2\overrightarrow {MJ} |\)\( = 6|\overrightarrow {MI} | + 6|\overrightarrow {MJ} |\)
Bước 2: Gọi \(F\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {FI} + \overrightarrow {FJ} = \vec 0\). Tìm max\(P\).
Gọi \(F\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {FI} + \overrightarrow {FJ} = \vec 0\)\( \Rightarrow F(0;1;0) \equiv T\).
\(\left. {P \le \sqrt {72\left( {|\overrightarrow {MI} {|^2} + |\overrightarrow {MJ} {|^2}} \right.} } \right)\)\( = \sqrt {72\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + {{\overrightarrow {MJ} }^2}} \right)} \)\( = \sqrt {72\left( {F{I^2} + F{J^2} + 2M{F^2}} \right)} \)
Như vậy \({\rm{P}}\) lớn nhất khi $M F$ lớn nhất. \({\rm{M}}\) thuộc \((S)\) nên $M F$ lớn nhất khi \(MF = R = 1\). Vậy \(P \le \sqrt {72(1 + 1 + 2)} = 12\sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Gọi điểm \(I\) thỏa mãn \(\vec A + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0\), điểm \(J\) thỏa mãn \(\overrightarrow {JD} + \overrightarrow {JE} = \vec 0\). Biểu diễn P theo \(|\overrightarrow {MI} |\) và \(|\overrightarrow {MJ} |\)
Bước 2: Gọi \(F\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {FI} + \overrightarrow {FJ} = \vec 0\). Tìm max\(P\)
