Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-m}{2}\) và mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9.\) Tìm \(m\) để đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu \((S)\) tại hai điểm phân biệt \(E,\,\,F\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(EF\) lớn nhất
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có \(E{{F}_{\max }}\Leftrightarrow d{{\left( I;\left( d \right) \right)}_{\min }}=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}{{\ }_{\min }}\) (trong đó điểm \({{M}_{0}}\left( 1;-1;m \right)\))
Ta có: \(d\left( I;\left( d \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}\ =\frac{\sqrt{{{\left( m+2 \right)}^{2}}+{{\left( m-2 \right)}^{2}}+4}}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{\sqrt{2{{m}^{2}}+12}}{\sqrt{6}}\)
Vì \(2{{m}^{2}}\ge 0\) suy ra \(d\left( I;\left( d \right) \right)\le \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6}}=\sqrt{2}\Rightarrow \,\,{{d}_{\min }}=\sqrt{2}<R=3\) khi \(m=0.\)
Hướng dẫn giải:
Đưa về bài toán đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt E, F. Độ dài EF lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d nhỏ nhất. Dựa vào công thức tính khoảng cách, khảo sát hàm số tìm m để khoảng cách min
