Các bài toán về mặt cầu và đường thẳng

Đường thẳng \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\\z =  - 2 - t\end{array} \right.\)

Vì tâm mặt cầu thuộc đường thẳng \(d\) nên ta gọi \(I\left( {2t;1 + t; - 2 - t} \right)\) là tâm mặt cầu.

Lại có mặt cầu tiếp xúc với cả hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right);\left( \beta  \right)\) nên ta có \(d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = d\left( {I;\left( \beta  \right)} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2t + 2\left( {1 + t} \right) - 2\left( { - 2 - t} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {4t - 3\left( {1 + t} \right) - 6\left( { - 2 - t} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {6t + 7} \right|}}{3} = \dfrac{{\left| {7t + 7} \right|}}{7} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{6t + 7}}{3} = t + 1\\\dfrac{{6t + 7}}{3} =  - t - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{4}{3} \Rightarrow I\left( { - \dfrac{8}{3}; - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\\t =  - \dfrac{{10}}{9} \Rightarrow I\left( { - \dfrac{{20}}{9};\dfrac{{ - 1}}{9}; - \dfrac{8}{9}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+ Với \(I\left( { - \dfrac{8}{3}; - \dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right) \Rightarrow \) bán kính mặt cầu \({R_1} = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - \dfrac{8}{3} + 2.\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) - 2.\left( { - \dfrac{2}{3}} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{3}\)

+ Với \(I\left( { - \dfrac{{20}}{9};\dfrac{{ - 1}}{9}; - \dfrac{8}{9}} \right) \Rightarrow \) bán kính mặt cầu \({R_2} = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - \dfrac{{20}}{9} + 2.\left( { - \dfrac{1}{9}} \right) - 2.\left( { - \dfrac{8}{9}} \right) + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{9}\)

Tỉ số \(\dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}}}{{\dfrac{1}{9}}} = 3\)

Ta thấy : \(A\left( { - 3;5;12} \right) \in \left( P \right)\) nên \(A\) là tiếp điểm của \(\left( P \right)\) với mặt cầu \(\left( S \right)\)\( \Rightarrow \)\(IA \bot \left( P \right)\).

Đường thẳng \(IA\) đi qua \(A\) và vuông góc \(\left( P \right)\) nên \(IA:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 2t\\y = 5 + 2t\\z = 12 - t\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 3 + 2t;5 + 2t;12 - t} \right)\).

Có \(\overrightarrow {IA}  = \left( { - 2t; - 2t;t} \right) \Rightarrow IA = \left| {3t} \right|\).

\(\Delta \) đi qua \(M\left( {2; - 3;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;5;12} \right)\) làm VTCP nên

\(d\left( {I,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {29t + 41} \right)}^2} + {{\left( {21t - 27} \right)}^2} + {{\left( {16t - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {178} }}\)

Mà \(IA = d\left( {I,\Delta } \right) \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {{{\left( {29t + 41} \right)}^2} + {{\left( {21t - 27} \right)}^2} + {{\left( {16t - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {178} }} = 3\left| t \right|\)

\( \Leftrightarrow 1538{t^2} + 1212t + 2411 = 1602{t^2} \Leftrightarrow 64{t^2} - 1212t - 2411 = 0\).

Phương trình trên có hai nghiệm \(t\) phân biệt nên có hai điểm \(I\) và suy ra có \(2\) mặt cầu.

Tọa độ giao điểm của $(S)$ và $Ox$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + z{}^2 = {R^2}\\x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.$(*)

$(S)$ tiếp xúc với $Ox$ khi và chỉ khi  (*) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow {t^2} + 1 = {R^2}\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow {R^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow R = 1\)

Phương trình mặt cầu $(S) $ có dạng ${(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + (z - 3){}^2 = {R^2}$

Phương trình tham số của $d$ là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z =  - 3 - t\end{array} \right.\)

Tọa độ giao điểm của $(S)$ và $d$ là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = {R^2}\\x =  - 1 + 2t\\y = 2 + t\\z =  - 3 - t\end{array} \right.\) (*)

$(S)$ tiếp xúc với $d$ khi và chỉ khi $(*)$ có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow {( - 2 + 2t)^2} + {(4 + t)^2} + {( - 6 - t)^2} = {R^2}\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow 6{t^2} + 12t + 56 - R{}^2 = 0\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 6.(56 - R{}^2) = 0 \Leftrightarrow 6{R^2} - 300 = 0 \Leftrightarrow {R^2} = 50 \Leftrightarrow R = 5\sqrt 2 \)

Suy ra đường kính của mặt cầu $(S)$ là \(10\sqrt 2 \).

Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng ${(x - 2)^2} + {y^2} + (z - 1){}^2 = {R^2}$

Phương trình tham số của $d$ là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)

Tọa độ giao điểm của $(S)$ và $d$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}{(x - 2)^2} + {y^2} + (z - 1){}^2 = {R^2}\\x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.(*)$

$(S)$ tiếp xúc với $d$ khi và chỉ khi  $(*)$ có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow {(t - 1)^2} + {(2t)^2} + (1 + t){}^2 = {R^2}\) có nghiệm kép

\( \Leftrightarrow 6{t^2} + 2 = {R^2}\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow {R^2} = 2\)

\(A \in \Delta  \Rightarrow A\left( {t;t;t} \right)\).

- Thay\(A\left( {t;t;t} \right)\) vào \({x^2} + {y^2} + {z^2} + x + y + z - 6 = 0\) ta có \(3{t^2} + 3t - 6 = 0\). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại

- Thay\(A\left( {t;t;t} \right)\) vào  \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 2z - 3 = 0\) ta có \(3{t^2} - 3 = 0\) . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại

- Thay\(A\left( {t;t;t} \right)\) vào  \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 3y + 5z + 3 = 0\) ta có \(3{t^2} + 6t + 3 = 0\) . Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãn

- Thay\(A\left( {t;t;t} \right)\) vào \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 7x - 2z + 6 = 0\) ta có \(3{t^2} - 9t + 6 = 0\) . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Loại

\(A \in Oz \Rightarrow A\left( {0;0;t} \right)\).

- Thay\(A\left( {0;0;t} \right)\) vào \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 8y + 2z + 2 = 0\) ta có \({t^2} + 2t + 2 = 0\). Phương trình vô nghiệm. Loại

- Thay\(A\left( {0;0;t} \right)\) vào \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 2 = 0\) ta có \({t^2} - 2t + 2 = 0\) . Phương trình vô nghiệm. Loại

- Thay\(A\left( {0;0;t} \right)\) vào \({x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + z + 1 = 0\) ta có \({t^2} + t + 1 = 0\) . Phương trình vô nghiệm. Loại

- Thay\(A\left( {0;0;t} \right)\) vào \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 4z + 4 = 0\) ta có \({t^2} + 4t + 4 = 0\). Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãn

$(S)$ có tâm \(I(1; - 2;3)\) và \(R = \sqrt {50} \)

Gọi $M$ là hình chiếu của $I$ lên trục $Ox$.

Suy ra \(M(1;0;0) \Rightarrow d(I,{\rm{Ox) = MI = }}\sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13}  \ne R \Rightarrow \), loại B.

Gọi $N$ là hình chiếu của $I$ lên trục $Oy$.

Suy ra $N(0; - 2;0) \Rightarrow d(I,{\text{Oy) = NI = }}\sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \ne R \Rightarrow $ loại C

Gọi $P$ là hình chiếu của $I$ lên trục $Oz$.

Suy ra \(P(0;0;3) \Rightarrow d(I,{\rm{Oz) = PI = }}\sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5  \ne R \Rightarrow \), loại D

Giải hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\{t^2} + {(2t)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\5{t^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  \pm \sqrt {\dfrac{4}{5}} \\x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\)

Suy ra $d $ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt.

Mặt khác $(S)$ có tâm \(I(1;2;3) \in d\) nên $d$ qua tâm của mặt cầu.

Do đó $AB$ đạt GTLN.

Tham số hóa phương trình đường thẳng $d$ ta được: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = t + 1\\y = 2 + 2t\\z = 4 + 3t\end{array} \right.$

Giả sử $A$ là giao điểm của $(d)$ và $(P)$.

Vì  $A \in d:\left\{ \begin{array}{l}x = t + 1\\y = 2 + 2t\\z = 4 + 3t\end{array} \right.$ nên ta có:$A\left( {t + 1;2 + 2t;4 + 3t} \right)$

Mặt khác \(A \in (S)\) nên ta có

  \(\begin{array}{l}{\left( {t + 1 - 1} \right)^2} + {\left( {2 + 2t + 2} \right)^2} + {\left( {4 + 3t - 3} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {4 + 2t} \right)^2} + {\left( {1 + 3t} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow 14{t^2} + 22t + 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - \dfrac{4}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {0;0;1} \right)\\B\left( {\dfrac{3}{7};\dfrac{6}{7};\dfrac{{16}}{7}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{6}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{16}}{7} - 1} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {126} }}{7}\end{array}\)

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên \( Oy \Rightarrow H(0; - 2;0)\)

$ \Rightarrow \overrightarrow {IH}  = \left( { - 3;0;0} \right) \Rightarrow IH = 3$

Mặt khác ta có: \(AH = \dfrac{{AB}}{2} = 4\)

Suy ra \({R^2} = A{H^2} + H{I^2} = {4^2} + {3^2} = 25\)

$(S)$ có tâm \(I(3; - 2;0)\) và bán kính $R$ với \({R^2} = 25\). Suy ra:

\((S):{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 25\)

Lấy ${\rm{A}} \in {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{A}}\left( {2a;a;4} \right)$ và \(B \in d' \Rightarrow B\left( {b;3 - b;0} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {b - 2a;3 - a - b; - 4} \right)\)

$AB$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $d$ và $d’$ khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {b - 2a} \right) + 1.\left( {3 - a - b} \right) + 0.\left( { - 4} \right) = 0\\1.\left( {b - 2a} \right) - 1.\left( {3 - a - b} \right) + 0.\left( { - 4} \right) = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a + b + 3 = 0\\ - a + 2b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)

Suy ra ${\rm{A}}\left( {2;1;4} \right)$, \(B\left( {2;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;0; - 4} \right)\)

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng $d$ và $d'$

Có tâm $I$ là trung điểm của $AB$ và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

Ta có \(I\left( {2;1;2} \right)\) và \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)

 Vậy ta có \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\)

Bước 1: Gọi $(S’)$ là mặt cầu đối xứng với mặt cầu $(S)$ qua trục $Oz$.

$(S)$ có tâm \(I( - 1;1;2)\) và \(R = 2\)

Bước 2: Tìm $J$ là điểm đối xứng của tâm mặt cầu $(S)$ qua $Oz$.

Lấy đối xứng điểm $I$ qua trục $Oz$ ta được \(J(1; - 1;2)\).

Bước 3: Tìm mặt cầu $(S’)$ 

$(S’)$ có tâm $J$ và bán kính $R$ có phương trình là: \({(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\)

\(\overrightarrow {{u_d}}  = (1;2;1)\) . Lấy điểm \( M( 1;0;2) \in d\) ;

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MI}  = ( - 1;0;1) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow u } \right] = ( - 2;2; - 2)\\R = d(I,d) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{(2)}^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \end{array}\)

Vậy phương trình mặt cầu tâm $I ( 2; 0; 1)$ bán kính \(\sqrt 2 \) là:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\) .

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$  qua $A$ , vuông góc $\left( d \right)$ là:

$ - 1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y + 1} \right) + 2.\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow -x + y + 2z + 1 = 0$

Gọi \(I\left( {1 - t;2 + t; - 1 + 2t} \right) = d \cap \left( P \right)\), khi đó:

\( - \left( {1 - t} \right) + \left( {2 + t} \right) + 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {1;2; - 1} \right)\)

Có $I{A^2} = 14$. Phương trình mặt cầu là:

 ${\left( {x-1} \right)^2} + {\left( {y-2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 14$

Ta xét mặt cầu $(S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 2)^2} = 25$

$\Rightarrow I(1;2; - 2);R = 5$

Điểm $A(1;-3;0)$ thuộc $d$ nên $A \in (P)$ và $d(I;(P)) = 5$ nên thử các đáp án ta thấy C đúng.

Tâm $I$ thuộc đường thẳng $d$ nên $I\left( {t; - 3 + t;2t} \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( {{\rm{Oxz}}} \right):y = 0$

Ta có bán kính mặt cầu $IM = 2\sqrt 2 $, mặt cầu cắt mặt phẳng $(Oxz)$ theo đường tròn có bán kính $HM=2$ suy ra $d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = IH = \sqrt {I{M^2} - H{M^2}}  = \sqrt {8 - 4}  = 2$

Ta có $\left| { - 3 + t} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3 + t = 2}\\{ - 3 + t =  - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 5 \Rightarrow I\left( {5;2;10} \right)}\\{t = 1 \Rightarrow I\left( {1; - 2;2} \right)}\end{array}} \right.$

Tâm mặt cầu $I(1;-2;1)$, bán kính $R=3$.

Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $\Delta $ có phương trình dạng $2{\rm{x - }}2y + z + D = 0$

Vì $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu nên ${\rm{d}}\left( {I,\left( P \right)} \right) = R \Rightarrow \left| {D - 7} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = -2}\\{D =   16}\end{array}} \right.$

Phương trình $(P)$ là $2x-2y+z-2=0;  2x-2y+z+16=0$.

Ta có

$\begin{array}{l}I \in d \Rightarrow I\left( {t; - 1; - t} \right)\\ \Rightarrow d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {t - 2 - 2t + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{\left| {t - 2 - 2t + 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} \\ \Leftrightarrow \left| { - t + 1} \right| = \left| { - t + 5} \right| \Leftrightarrow t = 3\\ \Rightarrow I\left( {3; - 1; - 3} \right)\\ \Rightarrow R = \dfrac{{\left| { - 3 + 1} \right|}}{{\sqrt 9 }} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow (S):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \dfrac{4}{9}\end{array}$

\(I \in d \Rightarrow I\left( {2t;3 + t;2 + t} \right)\)

\(I \in \left( P \right) \Rightarrow 2t - 2(3 + t) + 2(2 + t) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I\left( {2;4;3} \right)\)

Do $(Q)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ nên \(R = d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{|2 - 2.4 + 3.3 - 5|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {\dfrac{2}{7}} \)

\( \Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \dfrac{2}{7}\)