Các bài toán về mặt cầu và đường thẳng

+) Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\) có tâm \(J\left( {1;1;1} \right)\), bán kính \(R = 1\).

+) Tìm \(I\): 

\(3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \vec 0 \) \(\Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \vec 0 \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  =  - \dfrac{{2\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{6}\)

\(A\left( {0;1;1} \right),{\mkern 1mu} B\left( {3;0; - 1} \right),{\mkern 1mu} C\left( {0;21; - 19} \right) \) \(\Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( { - {x_I};1 - {y_I};1 - {z_I}} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {AB} \left( {3; - 1; - 2} \right),\) \({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {AC} \left( {0;20; - 20} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_I} =  - \dfrac{{2.3 + 0}}{6}\\1 - {y_I} =  - \dfrac{{2.\left( { - 1} \right) + 20}}{6}\\1 - {z_I} =  - \dfrac{{2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 20} \right)}}{6}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow I\left( {1;4; - 3} \right)\)

+) Ta có:

\(\begin{array}{l}3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2} \\= 3{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2} \\+ 2.\overrightarrow {MI} .\left( {3\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right) \\= 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2} + 2.\overrightarrow {MI} .\vec 0\\ = 6M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2} + I{C^2}\end{array}\)

Để tổng trên là nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất \( \Rightarrow M\) là giao điểm của đoạn thẳng IJ và  mặt cầu \(\left( S \right)\).

\(\overrightarrow {JI}  = \left( {0;3; - 4} \right)\)\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(M\) thuộc đoạn IJ có dạng \(\left( {1;1 + 3t;1 - 4t} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} t \in \left[ {0;1} \right]\)

Mặt khác \(M \in \left( S \right) \) \(\Rightarrow {\left( {1 - 1} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 + 3t} \right)} \right)^2} + {\left( {1 - \left( {1 - 4t} \right)} \right)^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow {t^2} = \dfrac{1}{{25}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{t = \dfrac{1}{5}}\\{}&{t =  - \dfrac{1}{5}{\mkern 1mu} (L)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{5}\)\( \Rightarrow M\left( {1;\dfrac{8}{5};\dfrac{1}{5}} \right) \Rightarrow OM = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {0;2; - 1} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;2; - 2} \right)\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;1;2} \right)\end{array}\)

Mặt phẳng $(ABC)$ có vecto pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;1;2} \right)\). Suy ra $(P) // (ABC)$

Trên mặt phẳng $(ABC) $ có $4$ điểm $M, N, P, Q$ cách đều $AB, BC, AC $ là tâm đường tròn nội tiếp, $3$ tâm đường tròn bàng tiếp các góc $A, B, C$ do đó có $4$ điểm \(M',N',P',Q'\)  trên mặt phẳng $(P)$ là hình chiếu vuông góc của $M, N, P, Q$ trên $(P)$ thỏa mãn tính chất cách đều $AB, BC, AC$.

Tương ứng có $4 $ mặt cầu tâm \(M',N',P',Q'\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dễ thấy \(E \in \left( P \right)\) . Gọi I\(\left( {3;2;5} \right)\) là tâm khối cầu.

Đường thẳng qua I vuông góc với (P): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 5 - t\end{array} \right.\,\,\left( d \right)\).

Gọi H là hình chiếu của I lên (P) \( \Rightarrow H \in \left( d \right) \Rightarrow H\left( {3 + 2t;2 + 2t;5 - t} \right)\)

Lại có \(H \in \left( P \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {3 + 2t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 5 + t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 6 + 4t + 4 + 4t - 5 + t - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 9t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{{ - 2}}{9} \Rightarrow H\left( {\dfrac{{23}}{9};\dfrac{{14}}{9};\dfrac{{47}}{9}} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {EH} \left( {\dfrac{5}{9};\dfrac{5}{9};\dfrac{{20}}{9}} \right) = \dfrac{5}{9}\left( {1;\;1;\;4} \right)//\left( {1;1;4} \right) = \overrightarrow a \end{array}\)

Để đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm sao cho chúng có khoảng cách nhỏ nhất thì đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) đi qua E và vuông góc với \(HE\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_P}} \\\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow a \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow a } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\4\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\4\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {9; - 9;\;0} \right) = 9\left( {1; - 1;0} \right)\).

Vậy đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) đi qua E và nhận \(\left( {1; - 1;0} \right)\) là 1 VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( \Delta  \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\\z = 3\end{array} \right.\)

Xét tứ diện SABC có: \(SA = SB = SC\), \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^0}\)\( \Rightarrow SABC\) là tứ diện đều.

Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\) có tâm O, bán kính \(R = 3\), ngoại tiếp khối tứ diện SABC \( \Rightarrow OS = OA = OB = OC = 3\)

Giả sử độ dài dây AB là  a  \( \Rightarrow \,SI = AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \,AH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - \dfrac{1}{3}{a^2}}  = \sqrt {\dfrac{2}{3}} a\)

\( \Rightarrow R = \dfrac{{{a^2}}}{{2\sqrt {\dfrac{2}{3}} a}} = \dfrac{{\sqrt 6 a}}{4} \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 6 a}}{4} = 3 \Leftrightarrow a = 2\sqrt 6 \).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến trục \(Oz\) là: \(d\left( {I;\left( {Oz} \right)} \right) = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5.\)

Vì  tiếp xúc với trục Oz nên bán kính mặt cầu R=5.

Vậy phương trình cần tìm là 

\(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 25.\)

Bước 1: Biểu diễn M và vectơ chỉ phương của \(\Delta \) theo m.

Mặt phẳng \((\alpha ):x - my + z + 6m - 3z = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1; - m;1)\), và mặt phẳng \((\beta ):mx + y - mz + 3m - 8 = (\alpha ) \cap (\beta )\). \(\overrightarrow {{n_1}}  = (1; - m;1)\), và mặt phẳng \((\beta ):mx + y - mz\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = (m;1; - m).\) Ta có \(M\left( { - 3m + \dfrac{4}{m} - 3;0; - 3m - \dfrac{4}{m}} \right) \in \Delta  = \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)\)

Do đó \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {{m^2} - 1;2m;{m^2} + 1} \right)\).

Bước 2: Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(\Delta \) và vuông góc với mặt phẳng \((Oxy)\). Tìm c.

Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(\Delta \) và vuông góc với mặt phẳng \((Oxy)\). Khi đó \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = [\vec u;\vec k] = \left( {2m;1 - {m^2};0} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là : \(2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y + 6{m^2} + 6m - 8 = 0\).

Vì \(I(a;b;c) \in (Oxy)\) nên \(I(a;b;0)\).

Bước 3: Theo giả thiết ta suy ra \((P)\) là tiếp diện của mặt cầu \((S) \Rightarrow d(I;(P)) = R\). Tìm a và b

Theo giả thiết ta suy ra \((P)\) là tiếp diện của mặt cầu \((S) \Rightarrow d(I;(P)) = R\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2ma + \left( {1 - {m^2}} \right)b + 6{m^2} + 6m - 8} \right|}}{{\sqrt {4{m^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = R > 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8} \right|}}{{{m^2} + 1}} = R > 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8 = R\left( {{m^2} + 1} \right)}\\{2m(a + 3) + (6 - b){m^2} + b - 8 =  - R\left( {{m^2} + 1} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(a + 3) = 0}\\{6 - b = R}\\{b - 8 = R}\\{R > 0}\end{array}} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2(a + 3) = 0\\6 - b =  - R\\b - 8 =  - R\\R > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 3 = 0}\\{6 - b = b - 8}\\{ - R = 6 - b < 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 3}\\{6 - b = b - 8}\\{R = 6 - b > 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 7\end{array} \right.\)

Vậy \(I( - 3;7;0)\), do đó \(P = 10{a^2} - {b^2} + 3{c^2} = 41\).

Vecto chỉ phương của d là: \(\vec u(1;1;2)\)

Gọi  \({\rm{H}}(t;t + 1; - 2t + 2)\) là hình chiếu của \(I\) lên \(d\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {IH} (t - 2;t + 1; - 2t + 1)\)

Do \(\overrightarrow {IH}  \cdot \vec u = 0 \Rightarrow t - 2 + t + 1 + 2( - 2t + 1) = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow H = \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};1} \right)\)

Bán kính mặt cầu là: \(R = IH = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

Phương trình mặt cầu là: \({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = \dfrac{9}{2}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(4; - 3; - 6),R = 5\sqrt 2 \).

Ta có: \(M \in Ox \Rightarrow M(a;0;0)\)

Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ \(M\) đến \((S)\).

Khi đó \((P)\) đi qua \(M(a;0;0)\), vuông góc với đường thẳng \(d\), phương trình mặt phẳng \((P)\) là:

\(2(x - a) + 4y - z = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 4y - z - 2a = 0\)

Ta có: \(M\) là điểm nằm ngoài mặt cầu, suy ra

\(IM > R \Leftrightarrow {(a - 4)^2} + 9 + 36 > 50\)\( \Leftrightarrow {(a - 4)^2} > 5\)

\(d(I,(P)) < R \Leftrightarrow \dfrac{{|8 - 12 + 6 - 2a|}}{{\sqrt {21} }} < 5\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow |2 - 2a| < 5\sqrt {42} \)

Từ (1) và (2), suy ra:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(a - 4)}^2} > 5}\\{|2 - 2a| < 5\sqrt {42} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - 8a + 11 > 0}\\{{a^2} - 2a + 1 < \dfrac{{350}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a \ge 7}\\{a \le 1}\\{ - 15 \le a \le 17}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 15 \le a \le 1}\\{7 \le a \le 17}\end{array}} \right.} \right.\) (do \(a \in \mathbb{Z}\) )

Vậy có 28 điểm \(M\) thoả mãn.