Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = 4\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 3 - t'\\z = 0\end{array} \right.\) . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Lấy ${\rm{A}} \in {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{A}}\left( {2a;a;4} \right)$ và \(B \in d' \Rightarrow B\left( {b;3 - b;0} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a;3 - a - b; - 4} \right)\)
$AB$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $d$ và $d’$ khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {b - 2a} \right) + 1.\left( {3 - a - b} \right) + 0.\left( { - 4} \right) = 0\\1.\left( {b - 2a} \right) - 1.\left( {3 - a - b} \right) + 0.\left( { - 4} \right) = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5a + b + 3 = 0\\ - a + 2b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)
Suy ra ${\rm{A}}\left( {2;1;4} \right)$, \(B\left( {2;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 4} \right)\)
Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng $d$ và $d'$
Có tâm $I$ là trung điểm của $AB$ và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).
Ta có \(I\left( {2;1;2} \right)\) và \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{4}{2} = 2\)
Vậy ta có \({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\)
Hướng dẫn giải:
- Tìm ${\rm{A}} \in {\rm{d}}$ và \(B \in d'\) sao cho $AB$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $d $ và \( d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right.\)
- Lập phương trình mặt cầu đường kính $AB$.
