Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=5\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(\Delta :\,\,\frac{x-1}{2}=\frac{y+m}{1}=\frac{z-2m}{-3}\) cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B có độ dài AB lớn nhất.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 0;-2;0 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{5}\).
Dễ thấy \(I\notin \Delta \).
Ta có: \({{\overrightarrow{u}}_{\Delta }}=\left( 2;1;-3 \right),\,\,M\left( 1;-m;2m \right)\in \Delta ,\,\,\overrightarrow{IM}=\left( 1;2-m;2m \right)\)
\(\begin{align} & \Rightarrow \left[ \overrightarrow{IM};{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right]=\left( m-6;4m+3;2m-3 \right) \\ & \Rightarrow d\left( I;\Delta \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{IM};{{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right] \right|}{\left| {{\overrightarrow{u}}_{\Delta }} \right|}=\frac{\sqrt{21{{m}^{2}}+54}}{\sqrt{14}} \\ \end{align}\)
Để AB lớn nhất \(\Leftrightarrow d{{\left( I;\Delta \right)}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left( 21{{m}^{2}}+54 \right)}_{\min }}\Leftrightarrow m=0\)
Hướng dẫn giải:
AB lớn nhất \(\Leftrightarrow d\left( I;\Delta \right)\) nhỏ nhất.
