Tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{z} = \dfrac{z}{t} = \dfrac{{x + y + z}}{{y + z + t}}$

Suy ra $\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{t} = \dfrac{{x + y + z}}{{y + z + t}}.\dfrac{{x + y + z}}{{y + z + t}}.\dfrac{{x + y + t}}{{y + z + t}} = {\left( {\dfrac{{x + y + z}}{{y + z + t}}} \right)^3}$

Mà $\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{t} = \dfrac{{x.y.z}}{{y.z.t}} = \dfrac{x}{t}$

Do đó ${\left( {\dfrac{{x + y + z}}{{y + z + t}}} \right)^3} = \dfrac{x}{t}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1$

Suy ra $a = b;b = c;c = a \Rightarrow b = c = a = 2018$

Vậy $b + c = 2018 + 2018 = 4036.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1$

Suy ra $a = b;b = c;c = a \Rightarrow b = c = a = 2018$

Vậy $a + b + c = 2018.3 = 6054.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

$\dfrac{y}{{x - z}} = \dfrac{{x + y}}{z} = \dfrac{x}{y}$$= \dfrac{{y + x + y + x}}{{x - z + z + y}} = \dfrac{{2x + 2y}}{{x + y}} = \dfrac{{2\left( {x + y} \right)}}{{x + y}} = 2$

=> $\dfrac{x}{y} = 2.$

Vậy $\dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{2}$.

Ta có $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$$\Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$

Mặt khác $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{9a}}{{9c}} = \dfrac{{3b}}{{3d}} = \dfrac{{9a + 3b}}{{9c + 3d}} = \dfrac{{9a - 3b}}{{9c - 3d}}$

Từ $\dfrac{{9a + 3b}}{{9c + 3d}} = \dfrac{{9a - 3b}}{{9c - 3d}} \Rightarrow \dfrac{{9a + 3b}}{{9a - 3b}} = \dfrac{{9c + 3d}}{{9c - 3d}}$.

Ta có $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$$\Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$

Mặt khác $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{-5a}}{{-5c}} = \dfrac{{4b}}{{4d}} = \dfrac{{-5a + 4b}}{{-5c + 4d}} = \dfrac{{-5a - 4b}}{{-5c - 4d}}$

Từ $\dfrac{{-5a + 4b}}{{-5c + 4d}} = \dfrac{{-5a - 4b}}{{-5c - 4d}} \Rightarrow \dfrac{{-5a + 4b}}{{-5a - 4b}} = \dfrac{{-5c + 4d}}{{-5c - 4d}}$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{u}{v} = \dfrac{{x + u}}{{y + v}} = \dfrac{{x - u}}{{y - v}}$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

+) $\dfrac{a}{b} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - 2c + e}}{{b - 2d + f}}$ nên A đúng.

+) $\dfrac{a}{b} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + e + c}}{{b + f + d}}$ nên B đúng.

+) $\dfrac{a}{b} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a - e + c}}{{b - f + d}}$ nên C đúng, D sai.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{{ - 6}} = \dfrac{{x + y}}{{4 + ( - 6)}} = \dfrac{{ - 50}}{{ - 2}} = 25$

Do đó

 $\dfrac{x}{4} = 25 \Rightarrow x = 25.4 = 100$;

$\dfrac{y}{{ - 6}} = 25 \Rightarrow y = 25.( - 6) =  - 150$.

Vậy $x = 100;y =  - 150.$

Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{7}{6} \Rightarrow \dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{6}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{{x + y}}{{7 + 6}} = \dfrac{{39}}{{13}} = 3$

Do đó

$\dfrac{x}{7} = 3 \Rightarrow x = 3.7 = 21$

$\dfrac{y}{6} = 3 \Rightarrow y = 3.6 = 18$ (thỏa mãn $y \ne 0)$

Vậy $x = 21;y = 18.$

Ta có: $5x = 3y \Rightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{y - x}}{{5 - 3}} = \dfrac{{30}}{2} = 15$

Do đó

$\dfrac{x}{3} = 15 \Rightarrow x = 15.3 = 45$   

$\dfrac{y}{5} = 15 \Rightarrow y = 15.5 = 75$

Vậy $x = 45;y = 75.$

Giả sử chia số $120$ thành bốn phần $x,y,z,t$ tỉ lệ với các số $2;4;8;10$

Khi đó ta có: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{t}{{10}}$ và $x + y + z + t = 120$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{t}{{10}} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{2 + 4 + 8 + 10}} = \dfrac{{120}}{{24}} = 5$

Do đó

$\dfrac{x}{2} = 5 \Rightarrow x = 5.2 = 10$;

$\dfrac{y}{4} = 5 \Rightarrow y = 5.4 = 20$;

$\dfrac{z}{8} = 5 \Rightarrow z = 5.8 = 40$;

$\dfrac{t}{{10}} = 5 \Rightarrow t = 5.10 = 50$.

Vậy các số cần tìm sắp xếp theo thứ tự tăng dần là $10;20;40;50$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{8} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{z}{{12}} = \dfrac{{x + y + z}}{{8 + 7 + 12}} = \dfrac{{ - 108}}{{27}} =  - 4$

Do đó

$\dfrac{x}{8} =  - 4 \Rightarrow x = ( - 4).8 =  - 32$;

$\dfrac{y}{7} =  - 4 \Rightarrow y = ( - 4).7 =  - 28$;

$\dfrac{z}{{12}} =  - 4 \Rightarrow z = ( - 4).12 =  - 48$.

Ta có: $- 48 <  - 32 <  - 28$

Vậy số bé nhất trong ba số trên là $z =  - 48.$

Gọi số học sinh lớp $7A, 7B, 7C$ lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo bài ra ta có $x + y + z = 153$; $y = \dfrac{8}{9}x;\,z = \dfrac{{17}}{{16}}y$

Suy ra $9y = 8x \Rightarrow \dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{8} \Rightarrow \dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}}$ ; $16z = 17y \Rightarrow \dfrac{z}{{17}} = \dfrac{y}{{16}}$

Nên $\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{17}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{17}}$$= \dfrac{{x + y + z}}{{18 + 16 + 17}} = \dfrac{{153}}{{51}} = 3$

Do đó:

$x = 18.3 = 54$; $y = 16.3 = 48$; $z = 17.3 = 51$

Số học sinh lớp $7B$ là $48$ học sinh.

Ta có $\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{9} \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{{11}^2}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{{9^2}}}$ hay $\dfrac{{{x^2}}}{{121}} = \dfrac{{{y^2}}}{{81}}$   

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{{{x^2}}}{{121}} = \dfrac{{{y^2}}}{{81}} = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{121 - 81}} = \dfrac{{40}}{{40}} = 1$

Do đó

$\dfrac{{{x^2}}}{{121}} = 1 \Rightarrow {x^2} = 121 \Rightarrow {x^2} = {( \pm 11)^2}$$\Rightarrow x = 11$ hoặc $x =  - 11$

Với $x = 11$ thay vào $\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{9}$ ta được: $\dfrac{{11}}{{11}} = \dfrac{y}{9} \Rightarrow 1 = \dfrac{y}{9} \Rightarrow y = 9$

Với $x =  - 11$ thay vào $\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{9}$ ta được: $\dfrac{{ - 11}}{{11}} = \dfrac{y}{9} \Rightarrow  - 1 = \dfrac{y}{9} \Rightarrow y =  - 9$

Vậy có hai bộ số $x;y$ thỏa mãn là $x = 11;y = 9$ hoặc $x =  - 11;y =  - 9.$

Ta có: $\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{2}$$\Rightarrow \dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{2}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{3x - y}}{{3.5 - 2}} = \dfrac{{26}}{{13}} = 2$

Do đó

$\dfrac{x}{5} = 2 \Rightarrow x = 2.5 = 10$  

$\dfrac{y}{2} = 2 \Rightarrow y = 2.2 = 4$ (thỏa mãn $y \ne 0$)

Vậy $x = 10;y = 4.$

Đặt $\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{{12}} = k$ suy ra $x = 11k;\,y = 12k$

Do đó $x.y = 11k.12k = 132{k^2}$  

mà $xy = 132$ nên $132{k^2} = 132 \Rightarrow {k^2} = 1$

$\Rightarrow k = 1$ hoặc $k =  - 1$.

Với $k = 1$ thì $x = 11;y = 12$

Với $k =  - 1$ thì $x =  - 11;y =  - 12$

Vì $x > 0;y > 0$ nên $x = 11;y = 12$ từ đó $x - y = 11 - 12 =  - 1.$

Gọi số học sinh lớp $7A, 7B, 7C$ lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo bài ra ta có $x + y + z = 153$; $y = \dfrac{8}{9}x;\,z = \dfrac{{17}}{{16}}y$

Suy ra $9y = 8x \Rightarrow \dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{8} \Rightarrow \dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}}$ ; $16z = 17y \Rightarrow \dfrac{z}{{17}} = \dfrac{y}{{16}}$

Nên $\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{17}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{{16}} = \dfrac{z}{{17}}$$= \dfrac{{x + y + z}}{{18 + 16 + 17}} = \dfrac{{153}}{{51}} = 3$

Do đó:

$x = 18.3 = 54$; $y = 16.3 = 48$; $z = 17.3 = 51$

Số học sinh lớp $7C$ là $51$ học sinh.

Ta có: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} \Rightarrow \dfrac{x}{{3.3}} = \dfrac{y}{{4.3}}$ hay $\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{{12}}\,\,\,(1)$

$\dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} \Rightarrow \dfrac{y}{{3.4}} = \dfrac{z}{{5.4}}$ hay $\dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{20}}\,\,\,\,(2)$

Từ $(1);(2)$ suy ra $\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{20}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{{12}} = \dfrac{z}{{20}}$$= \dfrac{{2x}}{{18}} = \dfrac{{3y}}{{36}} = \dfrac{{2x - 3y + z}}{{18 - 36 + 20}} = \dfrac{6}{2} = 3$

Do đó

$\dfrac{x}{9} = 3 \Rightarrow x = 3.9 = 27$;

$\dfrac{y}{{12}} = 3 \Rightarrow y = 3.12 = 36$;

$\dfrac{z}{{20}} = 3 \Rightarrow z = 3.20 = 60$.

Khi đó $x - 2y + z = 27 - 2.36 + 60 = 15$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{4} = \dfrac{{2(x - 1)}}{4} = \dfrac{{3(y - 2)}}{9}$$= \dfrac{{2(x - 1) + 3(y - 2) - (z - 3)}}{{4 + 9 - 4}}$

$= \dfrac{{2x - 2 + 3y - 6 - z + 3}}{9}$$= \dfrac{{2x + 3y - z - 5}}{9} = \dfrac{{50 - 5}}{9} = 5$

Do đó

$\dfrac{{x - 1}}{2} = 5 \Rightarrow x - 1 = 10 \Rightarrow x = 11$

$\dfrac{{y - 2}}{3} = 5 \Rightarrow y - 2 = 15 \Rightarrow y = 17$

$\dfrac{{z - 3}}{4} = 5 \Rightarrow z - 3 = 20 \Rightarrow z = 23$

Vậy $x = 11;\,y = 17;\,z = 23$