Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Trong tam giác đều, mỗi góc bằng \({60^0}.\)

Nên A, B đúng.

Tam giác đều cũng là tam giác cân nhưng tam giác cân chưa chắc là tam giác đều vì nó chỉ có hai cạnh bên bằng nhau.

Vậy C sai.

Để hai tam giác cân bằng nhau thì  phải cần điều kiện là: Có một cặp góc ở đỉnh và cặp cạnh đáy bằng nhau.

Khi đó hai tam giác cân bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc.

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng \({45^0}.\)

Do tam giác ABC cân nên \(\widehat B = \widehat C\)

Xét tam giác ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow \widehat C = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\) hay \(\widehat A = {180^0} - 2\widehat C\)

Do tam giác ABC cân nên \(\widehat B = \widehat C\)

Xét tam giác ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\) hay \(\widehat A = {180^0} - 2\widehat C\)

Do tam giác ABC cân nên \(\widehat B = \widehat C\)

Xét tam giác ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow \widehat C = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\) =\(\frac{{{{180}^0} - {{54}^0}}}{2} = {63^0}\)

Sử dụng cách tính số đo các góc trong tam giác $ABC$ cân tại $A.$

Góc ở đỉnh \(\widehat A = {180^0} - 2\widehat C\) và góc ở đáy \(\widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}.\)

Áp dụng ta có  số đo góc ở đáy bằng: $\dfrac{{{{180}^0} - {{64}^0}}}{2} = {58^0}$

Giả sử xét trong tam giác ABC cân tại A.

Xét tam giác ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow \widehat C = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\)

Vì \(180^\circ  - \widehat A < 180^\circ  \Rightarrow \frac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} < \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)

Vậy góc ở đáy của một tam giác cân không thể là góc tù.

Tổng số đo hai góc ở đáy là \(70^o.2 = 140^\circ \)

Vì tổng ba góc của tam giác bằng \(180^\circ \) nên số đo góc ở đỉnh tam giác cân này là

\(180^\circ  - 140^\circ  = 40^\circ .\)

Vì tam giác ABC cân tại B nên BA = BC

Mà H, K lần lượt là trung điểm của BA và BC nên BH = BK

Xét tam giác vuộng BHI và BKI có:

BI chung

BH = BK

\( \Rightarrow BHI = \Delta BKI\) ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \) IH = IK (hai cạnh tương ứng).

Từ hình vẽ ta có \(AB = AE;BC = DE\)

Vì \(AB = AE \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại \(A.\)

Suy ra \(\widehat B = \widehat E\)  (hai góc ở đáy)

Xét tam giác \(ABC\) và \(AED\) có: \(AB = AE;\widehat B = \widehat E\left( {cmt} \right);BC = DE\) nên \(\Delta ABC = \Delta AED\left( {c - g - c} \right)\)

Do đó \(AC = AD\) (hai cạnh tương ứng) suy ra \(\Delta ACD\) cân tại \(A.\)

Vậy có hai tam giác cân trên hình vẽ.

Do tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat B = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \frac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}\)

Ta thấy tam giác ADE cân do AD = AE

\( \Rightarrow \widehat {ADE} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \frac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}\)

Do đó \(\widehat B = \widehat {ADE}\) .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên ED // BC ( Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)

Vậy D là đáp án sai.

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (vì \(AB = AC\) ) có \(\widehat A = 40^\circ \) nên \(\widehat B = \widehat {ACB} = \dfrac{{180^\circ  - 40^\circ }}{2} = 70^\circ \)

Mà \(\widehat {ACB}\) là góc ngoài của tam giác \(ACD\) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {CAD} + \widehat {CDA}\)

Lại có \(\Delta CAD\) cân tại \(C \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CDA} = x\) (tính chất)

Nên  \(\widehat {ACB} = \widehat {CAD} + \widehat {CDA} = 2x \Rightarrow x = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}\)\( = \dfrac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ .\)

Vậy \(x = 35^\circ .\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\\\widehat {BAN} = \widehat {CAN} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {MAC} = \widehat {BAN}\) .

Xét hai tam giác ABN và AMC có:

AM = AB (do tam giác AMB đều)

\(\widehat {MAC} = \widehat {BAN}\) (cmt)

AN = AC (do tam giác ANC đều)

Do đó \(\Delta ABN = \Delta AMC(c.g.c)\)

\( \Rightarrow \)BN = CM (hai cạnh tương ứng).

Do tam giác $ABC$  vuông cân ở $A$  nên \(\widehat B = \widehat C = {45^0}\).

Xét tam giác $AMB$  có: $BM = BA(gt),$ nên tam giác $AMB$  cân ở $B.$

Do đó $\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2}$$ = \dfrac{{{{180}^0} - {{45}^0}}}{2} = {67^0}30'$

Chứng minh tương tự ta được tam giác $ANC$  cân ở $C$ và \(\widehat {ANC} = {67^0}30'\).

Xét tam giác $AMN$  có: \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {67^0}30'\), do đó tam giác $AMN$ cân ở $A.$

Xét tam giác $AMN,$ ta có:

\(\widehat {MAN} = {180^0} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right) \)\(= {180^0} - {135^0} = {45^0}.\)

Vậy \(\widehat {MAN} = {45^0}.\)

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD. Khi đó, 2. AM = AD

Xét tam giác ABM và DCM, có:

AM = DM

\(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\) ( đối đỉnh)

BM = CM ( gt)

\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM\) ( c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {BCD}\) (2 góc tương ứng); AB = CD ( 2 cạnh tương ứng)

Mà 2 góc ABC và BCD ở vị trí so le trong

\( \Rightarrow \)AB // CD

Mà AB \( \bot \) AC

\( \Rightarrow \) CD  \( \bot \) AC ( tính chất)

Xét tam giác vuông ABC và CDA có:

AC chung

\(\widehat {BAC} = \widehat {DCA}( = 90^\circ )\)

AB = CD( cmt)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta CDA\) ( c.g.c)

\( \Rightarrow \) AD = BC ( 2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \) 2. AM = BC

\( \Rightarrow \) AM = MB = MC

Do tam giác ABC cân nên \(\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}\)

Ta thấy tam giác $ADE$  cân do $AD = AE.$

\( \Rightarrow \widehat {ADE} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}\)

Do đó \(\widehat B = \widehat {ADE}\) . Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ED//BC.$

Vậy D là đáp án sai.

Vì M nằm trên đường trung trực của AB nên MA = MB ( tính chất)

Vì N nằm trên đường trung trực của AB nên NA = NB ( tính chất)

Xét tam giác AOM và AON có:

OM = ON

\(\widehat {AOM} = \widehat {AON}( = 90^\circ )\)

AO chung

\( \Rightarrow \Delta AOM = \Delta AON\) ( c.g.c)

\( \Rightarrow \) AM = AN ( 2 cạnh tương ứng)

Mà MA = MB; NA = NB

\( \Rightarrow \) MA = MB = NB = NA

\( \Rightarrow \) Tứ giác AMBN là hình thoi ( Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)

Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = 90^\circ ;\,AB = AC\) nên tam giác \(ABC\) vuông cân.

Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân nên cả A, B, C đều đúng.