Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Do tam giác ABC vuông cân ở A nên \(\widehat B = \widehat C = {45^0}\).

Xét tam giác AMB có: BM = BA (gt), nên tam giác AMB cân ở B.

Do đó \(\widehat {AMB} = \frac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2} = \frac{{{{180}^0} - {{45}^0}}}{2} = 67,5^\circ \)

Chứng minh tương tự ta được tam giác ANC cân ở C và \(\widehat {ANC} = 67,5^\circ \).

Xét tam giác AMN, ta có:

\(\widehat {MAN} = {180^0} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right) = {180^0} - {135^0} = {45^0}\).

Vậy \(\widehat {MAN} = {45^0}\)

Từ giả thiết suy ra \(AM = BM = CM\)

Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc trong tam giác) (1)

Lại có \(\Delta AMB\) cân tại \(M\,\left( {{\rm{do}}\,\,MA = MB} \right)\) nên \(\widehat B = \widehat {BAM}\) (tính chất) (2)

Tương tự \(\Delta AMC\) cân tại \(M\,\left( {{\mathop{\rm do}\nolimits} \,\,MA = MC} \right)\) nên \(\widehat C = \widehat {MAC}\) (tính chất) (3)

Từ (1); (2); (3) ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {BAM} + \widehat {CAM} = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {BAC} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) \(2.\widehat {BAC} = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ .\)

Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)  (định lý tổng ba góc trong tam giác) và \(\widehat A = 40^\circ ;\,\widehat B - \widehat C = 20^\circ \,\left( {gt} \right)\)

Suy ra \(\widehat B + \widehat C = 140^\circ \) nên \(\widehat B = \dfrac{{140^\circ  + 20^\circ }}{2} = 80^\circ ;\,\widehat C = 60^\circ \)

Xét tam giác \(AEB\) cân tại \(A\) (do \(AB = AE\,\left( {gt} \right)\)) nên \(\widehat {AEB} = \widehat {ABE}\)  (tính chất) (1)

Lại có \(\widehat {BAC}\) là góc ngoài của tam giác \(AEB \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {AEB} + \widehat {ABE}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = 20^\circ \)

Do đó \(\widehat {CBE} = \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = 80^\circ  + 20^\circ  = 100^\circ .\)

Lấy \(E \in AD\) sao cho \(AE = AB\) mà \(AD = AB + AC\) nên \(AC = DE.\)

\(\Delta ABE\) cân có \(\widehat {BAD} = 60^\circ \) nên \(\Delta ABE\) là tam giác đều suy ra \(AE = EB.\)

Thấy \(\widehat {BED} = \widehat {EBA} + \widehat {EAB} = 120^\circ \)  (góc ngoài tại đỉnh \(E\) của tam giác \(ABE\) )  nên \(\widehat {BED} = \widehat {BAC}\left( { = 120^\circ } \right)\)

Suy ra \(\Delta EBD = \Delta {\rm A}BC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (hai góc tương ứng bằng nhau) và \(BD = BC\) (hai cạnh tương ứng)

Lại có $\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ $ nên \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}} = 60^\circ .\)

\(\Delta BCD\) cân tại \(B\) có \(\widehat {CBD} = 60^\circ \) nên nó là tam giác đều.

+  Các tam giác $AMB$ và $ANC$  là các tam giác đều(gt) nên \(\widehat {MAB} = {60^0},\,\,\,\widehat {NAC} = {60^0}\).

Ta có: \(\widehat {MAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAN} = {60^0} + {60^0} + {60^0} = {180^0}.\)

Suy ra ba điểm $M,A,N$ thẳng hàng.

+  Ta có:

 $\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\\\widehat {BAN} = \widehat {CAN} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}$

Do đó \(\widehat {MAC} = \widehat {BAN}\) .

Xét hai tam giác $ABN$  và $AMC$  có:

+) $AB = AM$ (do tam giác $AMB$ đều)

+) \(\widehat {BAN} = \widehat {MAC}\) (cmt)

+) $AN = AC$ (do tam giác $ANC$ đều)

Do đó \(\Delta ABN = \Delta AMC(c.g.c)\)

Suy ra $BN = CM$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy cả A, B đều đúng.