Đại lượng tỉ lệ nghịch

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $y = \dfrac{a}{x}$ thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$  theo hệ số tỉ lệ $a.$ 

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ $a$  thì:

${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a$

$\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{y_1}}};\dfrac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \dfrac{{{y_3}}}{{{y_1}}};...$

Xét các tích giá trị của $x$ và $y$ ta được: $10.10 = 20.5$ $= 25.4 = 30.\dfrac{{10}}{3}$ $= 40.2,5 = 100$.

Nên $y$ và $x$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Vì  $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch  nên${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}$ mà ${x_1} = 4,{x_2} = 3$ và ${y_1} + {y_2} = 14$

Do đó $4{y_1} = 3{y_2} \Rightarrow \dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: $\dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{3 + 4}} = \dfrac{{14}}{7} = 2$

Do đó $\dfrac{{{y_1}}}{3} = 2 \Rightarrow {y_1} = 6$; $\dfrac{{{y_2}}}{4} = 2 \Rightarrow {y_2} = 8$

Vậy ${y_2} = 8.$

Vì $y$tỉ lệ nghịch với $x$ theo tỉ số ${k_1}\left( {{k_1} \ne 0} \right)$ nên $y = \dfrac{{{k_1}}}{x}$.

Và $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo tỉ số ${k_2}\left( {{k_2} \ne 0} \right)$ nên $x = \dfrac{{{k_2}}}{z}$.

Thay $x = \dfrac{{{k_2}}}{z}$ vào $y = \dfrac{{{k_1}}}{x}$ ta được $y = \dfrac{{{k_1}}}{{\dfrac{{{k_2}}}{z}}} = \dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}z$.

Nên $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}.$

Gọi thời gian công nhân làm một công việc đó là $x\left( {x > 0} \right)$ (giờ)

Vì số công nhân và thời gian làm của công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên theo bài ra ta có:

8 . 35 = 40.x $\Rightarrow 280 = 40.x \Rightarrow x = 7$(giờ) ( thỏa mãn)

Vậy nếu có $40$công nhân thì công việc đó được hoàn thành trong 7 giờ.

Đổi 2 giờ 15 phút $= 2,25$ giờ.

Gọi thời gian ô tô chạy A đến B với vận tốc $45$ km/h  là $x\,\left( {x > 0} \right)$ (giờ)

Vì quãng đường đi không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Áp dụng tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có: $60.2,25 = 45.x \Rightarrow 45x = 135 \Rightarrow x = 3$ giờ. ( thỏa mãn)

Vậy thời gian cần tìm là $3$ giờ.

Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$.

Vì diện tích ba cánh đồng là như nhau nên thời gian và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có: $x.4 = y.7 = z.9$ và $x - y = 3$

Suy ra $\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{4}$ . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{{x - y}}{{7 - 4}} = \dfrac{3}{3} = 1$

Do đó $x = 7;y = 4$ .

Vậy đội thứ nhất có $7$ máy.

Gọi thời gian để hoàn thành công việc sau khi tăng thêm $15$ công nhân là  $x\,\left( {0 < x < 12} \right)$ (giờ)

Từ bài ra ta có số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu tăng thêm $15$ công nhân thì số công nhân sau khi tăng là $45 + 15 = 60$ công nhân.

Theo bài ra ta có:

$45.12 = 60.x \Rightarrow 60x = 540 \Rightarrow x = 9$ giờ.

Do đó thời gian hoàn thành công việc giảm đi $12 - 9 = 3$ giờ.

Gọi ${v_1};{v_2}$ lần lượt là vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai (km/giờ)  $\left( {{v_1};{v_2} > 0} \right)$

Gọi ${t_1};{t_2}$ lần lượt là thời gian của xe thứ nhất và xe thứ hai (giờ) $\left( {{t_1};{t_2} > 0} \right)$

Từ đề bài ta có ${v_1} = \dfrac{{60}}{{100}}{v_2} \Rightarrow {v_1} = \dfrac{3}{5}{v_2}$ và ${t_1} = {t_2} + 4$

Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có

${v_1}.{t_1} = {v_2}.{t_2} \Rightarrow \dfrac{3}{5}{v_2}\left( {{t_2} + 4} \right) = {v_2}.{t_2}$ $\Rightarrow \dfrac{3}{5}{v_2}.{t_2} + \dfrac{{12}}{5}{v_2} = {v_2}.{t_2}$

$\Rightarrow 12{v_2} = 2{v_2}{t_2}$ mà ${v_2} > 0$ nên ${t_2} = \dfrac{{12{v_2}}}{{2{v_2}}} = 6$ ( thỏa mãn)

Vậy thời gian người thứ hai đi từ A đến B là 6 giờ.