Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Để tam giác $ABC$  và tam giác $MHK$ bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh cần thêm điều kiện về cạnh kề đó là:$AC = MK.$

Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của  tam giác ta thấy cần thêm điều kiện về góc kề cạnh đó là  \(\widehat C = \widehat M.\)

Xét tam giác \(BAC\)  và tam giác \(KEF\)  có \(BA = EK,\) \(\widehat A = \widehat K\), \(CA = KF.\) suy ra \(\Delta BAC = \Delta EKF\)(c.g.c)

Xét tam giác $BAC$  và tam giác $KEF$  có $BA = EK,$ \(\widehat A = \widehat K\), $CA = KF.$ Suy ra \(\Delta BAC = \Delta EKF\) (c.g.c)

Ta thấy hai tam giác \(ABC\)  và tam giác \(MNP\) có hai yếu tố về góc  \(\widehat A = \widehat {M,}\widehat B = \widehat N\).

Để tam giác \(ABC\)  và tam giác \(MNP\) bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc thì cần thêm điều kiện về cạnh kề hai góc đã cho đó là \(AB = MN.\)

Xét tam giác $ABC$  và tam giác $MNP$  có  $\widehat B = \widehat N = {90^ \circ }$, $AC = MP$, \(\widehat C = \widehat M\) , do đó  \(\Delta ABC = \Delta PNM\) (cạnh huyền – góc nhọn) 

Ta có:

\(\widehat {{M_1}} = \widehat {{O_2}}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {{M_2}} = \widehat {{O_1}}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(do Oz là tia phân giác của góc xOy)

Do đó \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)

Xét tam giác \(AOM\)  và tam giác \(BOM\)  có:

 \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_1}}\)(cmt)

 \(OM\)  là cạnh chung

  \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{O_1}}\)(cmt)

\( \Rightarrow \Delta AOM = \Delta BOM(g.c.g)\)

Do đó \(OA = OB;MA = MB\) (các cặp cạnh tương ứng).

 Xét tam giác \(OAD\) và tam giác \(OBC\) có

$OA = OB,$ góc \(O\) chung, $OD = OC$ suy ra \(\Delta OAD = \Delta OBC\,\left( {c - g - c} \right).\)

Vì  \(\Delta OAD = \Delta OBC\,\left( {c - g - c} \right).\) Suy ra \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Lại có \(\widehat {OBC} + \widehat {CBD} = 180^\circ ;\,\widehat {OAD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {CBD} = 180^\circ  - \widehat {OBC}\) và \(\widehat {CAD} = 180^\circ  - \widehat {OAD}\)  mà \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (cmt)

Suy ra \(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}.\)

Xét hai tam giác \(ABC\) và tam giác \(AED\)  có:

\(AB = AB;\) \(\widehat {BAD} = \widehat {BAC}\)(hai góc đối đỉnh); \(AD = DC,\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta AED = \Delta ABC\) (A đúng).

\( \Rightarrow \) \(BC = BD\) (hai cạnh tương ứng) (B đúng);

\(\widehat {ABC} = \widehat {ABD}\)(hai góc tương ứng) (D đúng).

Xét tam giác $DEF$  và tam giác $HKG$  có $DE = HK$ , \(\widehat E = \widehat K\), $EF = KG.$

do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\) (c.g.c).

Do đó \(\widehat H = \widehat D = {70^0}\) (hai góc tương ứng).

Xét tam giác \(OAD\) và tam giác \(OBC\) có

\(OA = OB,\)

\(\widehat O\)chung,

\(OC = OD\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OAD = \Delta OBC\) ( c.g.c)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (hai góc tương ứng bằng nhau)

Lại có \(\widehat {OBC} + \widehat {CBD} = 180^\circ ;\,\widehat {OAD} + \widehat {DAC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {CBD} = 180^\circ  - \widehat {OBC}\) và \(\widehat {CAD} = 180^\circ  - \widehat {OAD}\)  mà \(\widehat {OBC} = \widehat {OAD}\) (cmt)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {CBD} = \widehat {CAD}.\)

Xét hai tam giác $BDA$  và $BDE$  có:$BA = BE\left( {gt} \right),$ \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (do $BD$ là tia phân giác của góc B);

$BD$ là cạnh chung. Suy ra \(\Delta BDA = \Delta BDE\) (c.g.c) 

Suy ra \(\widehat {BED} = \widehat {BAD} = {90^ \circ }\) (hai góc tương ứng)

Trong các tam giác $ABC$ và $EDC$ vuông ở $A$ và $E,$ ta có:

\(\widehat {ABC} + \widehat C = {90^ \circ }\)  và \(\widehat {EDC} + \widehat C = {90^ \circ }\), suy ra \(\widehat {EDC} = \widehat {ABC}\).

Vì \(BD\) và \(CE\) là tia phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) và \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE}.\) 

Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(CBD\) có:

+ \(AB = AC\,\left( {gt} \right)\)

+ \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt)

+ Cạnh \(BD\) chung

Suy ra  \(\Delta ABD = \Delta CBD\,\left( {c - g - c} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {BCA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (1)

Tương tự ta có \(\Delta BCE = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {CBA} = \widehat {BAC}\) (hai góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB}\). Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của tam giác) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ }}{3} = 60^\circ .\)

Lại có \(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\) (cmt) nên \(\widehat {CBO} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ \); \(\widehat {ACE} = \widehat {BCE} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2} = \frac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .\)

Xét tam giác \(BOC\) có \(\widehat {BOC} + \widehat {OBC} + \widehat {OCB} = 180^\circ \) (định lý tổng ba góc của một tam giác)

Nên \(\widehat {BOC} = 180^\circ  - 30^\circ  - 30^\circ  = 120^\circ .\)

Vậy \(\widehat {BOC} = 120^\circ .\)

Đường trung trực của \(AB\) vuông góc với \(AB\) tại trung điểm \(E\) . Do đó \(ME \bot AB;\,EA = EB.\)

Xét tam giác \(MEA\) và tam giác \(MEB\) có \(EA = EB\,\left( {cmt} \right),\) \(\widehat {MEA} = \widehat {MEB} = 90^\circ ,\) cạnh \(ME\) chung nên \(\Delta MEA = \Delta MEB\,\left( {c - g - c} \right)\) suy ra \(MA = MB\) (hai cạnh tương ứng).

Xét tam giác $DEF$  và tam giác $HKG$  có \(\widehat D = \widehat H\), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK,$ do đó \(\Delta DEF = \Delta HKG\)(g.c.g).

Do đó \(\widehat G = \widehat F = {80^0}\) (hai góc tương ứng).

* Xét tam giác \(OBC\) và \(OAD\) có

+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)

+ \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)

+ \(OC = OD\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OAD = \Delta OBC\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\)  (hai góc tương ứng)

* Xét tam giác \(OBF\) và \(OAE\) có

+ \(OA = OB\,\left( {gt} \right)\)

+ \(\widehat {OAD} = \widehat {OBC}\) (cmt)

+ \(BF = AE\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta OBF = \Delta OAE\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(OE = OF\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {AOE} = \widehat {FOB}\)  (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {FOB} + \widehat {FOA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {FOA} + \widehat {AOE} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \) 3 điểm \(F;\,O;E\) thẳng hàng và \(OE = OF\) nên \(O\) là trung điểm của \(EF \Rightarrow EF = 2.OE = 4\,cm.\)

Xét tam giác $ABC$  và tam giác $DEF$ có $AB = DE,$ \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D\) , do đó \(\Delta ABC = \Delta DEF\,\left( {g - c - g} \right)\).

Do đó $DF = AC = 6cm$ (hai cạnh tương ứng).

Xét tam giác \(ABE\) và tam giác \(ADC\) có

+ \(AD = AE\left( {gt} \right)\)

 + Góc \(A\) chung

+ \(AB = AC\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta ABE = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACD};\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (hai góc tương ứng) và \(BE = CD\) (hai cạnh tương ứng) nên A đúng.

Lại có \(\widehat {ADC} + \widehat {BDC} = 180^\circ \); \(\widehat {AEB} + \widehat {BEC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) mà \(\widehat {ADC} = \widehat {AEB}\) (cmt)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}.\)

Lại có \(AB = AC;\,AD = AE\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow AB - AD = AC - AE \Rightarrow BD = EC\) nên C đúng.

Xét tam giác \(KBD\) và tam giác \(KCE\) có

\(\widehat {ABE} = \widehat {ACD}\,\left( {cmt} \right)\)

\(BD = EC\,\left( {cmt} \right)\)

\(\widehat {BDC} = \widehat {BEC}\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(\Delta KBD = \Delta KCE\left( {g - c - g} \right)\)

\( \Rightarrow KB = KC;\,KD = KE\) (hai cạnh tương ứng)  nên B đúng, D sai.

Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\,\,\,\left( {do\,\,\,\widehat {BAC} = {{90}^0}} \right)\)

Mà ${\widehat A_1} + {\widehat B_2} = {90^0}$ vì tam giác $ABD$  vuông tại $D.$

\( \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat A_2}\)  (cùng phụ với \({\widehat A_1}\)).

Lại có \({\widehat A_2} + {\widehat C_1} = {90^0}\) vì tam giác $ACE$  vuông tại $E$

\( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (cùng phụ với \({\widehat A_2}\)).

Xét hai tam giác vuông $BDA$  và $AEC$  có:

\(\widehat D = \widehat E = {90^0}\); \(AB = AC\) (gt) và \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta BA{\rm{D}} = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $BD = AE$ (hai cạnh tương ứng), $CE = AD$ (hai cạnh tương ứng).

Do đó $DE = AD + AE = CE + BD.$