Tổng các góc trong một tam giác

Áp dụng định lí tổng số đo 3 góc trong 3 tam giác ABD, ACD và ABC, ta được:

$\widehat {BAD} + \widehat {ABD} + \widehat {ADB} = 180^\circ$

$\widehat {CAD} + \widehat {ADC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$

$\widehat {BAC} + \widehat {ACD} + \widehat {ABD} = 180^\circ$

Vậy A,C,D đúng

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:

$\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \\ \Rightarrow 86^\circ  + 62^\circ  + \widehat C = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ  - 86^\circ  - 62^\circ  = 32^\circ \end{array}$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$.

Áp dụng tính chất tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {80^0} = {100^0}$.

Hay $x + x = {100^0} \Rightarrow 2x = {100^0} \Rightarrow x = {50^0}$

Xét tam giác $ABC$  có :$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = {180^0} - \left( {{{96}^0} + {{50}^0}} \right) = {34^0}$.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat C = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {180^0} - \left( {{{50}^0} + {{70}^0}} \right) = {60^0}$.

Do CM là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \frac{{\widehat C}}{2} = \frac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}$.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác BMC có:

$\widehat B + \widehat {BMC} + {\widehat C_1} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BMC} = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat {{C_1}}} \right) = {180^0} - \left( {{{70}^0} + {{30}^0}} \right) = {80^0}$

Xét tam giác $ABC$  có :$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {82^0} = {98^0}$.

Hay $x + x = {98^0} \Rightarrow 2x = {98^0} \Rightarrow x = {49^0}$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ  \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ  - 80^\circ  = 100^\circ$

Ta có:

$\begin{array}{l}\widehat C = (100^\circ  - 50^\circ ):2 = 25^\circ ;\\\widehat B = \widehat C + 50^\circ  = 25^\circ  + 50^\circ  = 75^\circ \end{array}$

Giả sử tam giác $ABC$ có ba góc  bằng nhau $\widehat A = \widehat B = \widehat C$

Lại có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$$\Rightarrow \widehat A + \widehat A + \widehat A = 180^\circ  \Rightarrow 3\widehat A = 180^\circ$$\Rightarrow \widehat A = 180^\circ :3$$\Rightarrow \widehat A = 60^\circ .$

Vậy $\widehat A = \widehat B = \widehat C = 60^\circ .$

Áp dụng tính chất tổng ba góc trong tam giác ACF có :$\widehat A + \widehat {ACF} + \widehat {AFC} = {180^0} \Leftrightarrow {60^0} + \widehat {ACF} + {90^0} = {180^0}$

$\Rightarrow \widehat {ACF} = {180^0} - {60^0} - {90^0} = {30^0}.$

Áp dụng tính chất tổng ba góc trong $\Delta IEC$ ta có: $\widehat {IEC} + \widehat {ECI} + \widehat {EIC} = {180^0} \Leftrightarrow {30^0} + x + {90^0} = {180^0}$

$\Rightarrow x = {180^0} - {30^0} - {90^0} = {60^0}.$

Ta có $x$ là số đo góc ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $ABC$ nên 

$x = \widehat A + \widehat B = {50^0} + {90^0} = {140^0}$.

Gọi G là giao điểm của CK và AE, H là giao điểm của BK và DE.

Xét tam giác KGB và tam giác AGC và theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\widehat K + \widehat {{B_1}} = \widehat {AGK}\\\widehat A + \widehat {{C_1}} = \widehat {AGK}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat K + \widehat {{B_1}} = \widehat A + \widehat {{C_1}}$    (1)

Xét tam giác KHC và tam giác DHB và theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\widehat K + \widehat {{C_2}} = \widehat {EHB}\\\widehat D + \widehat {{B_2}} = \widehat {EHB}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat K + \widehat {{C_2}} = \widehat D + \widehat {{B_2}}$ (2)

Do  $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (BK là tia phân giác của góc DBA);

$\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$    ( CK là tia phân giác của góc ACD).

Nên cộng (1) với (2) ta được $2\widehat K = \widehat A + \widehat D$, do đó $\widehat K = \frac{{\widehat A + \widehat D}}{2}$  hay $\widehat {BKC} = \frac{{\widehat {BAC} + \widehat {BDC}}}{2}$

Theo tính chất tổng 3 góc của tam giác ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}.$

Theo đề bài ta có: $\widehat A:\widehat B:\widehat C = 2:3:4 \Rightarrow \dfrac{{\widehat A}}{2} = \dfrac{{\widehat B}}{3} = \dfrac{{\widehat C}}{4}.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{\widehat A}}{2} = \dfrac{{\widehat B}}{3} = \dfrac{{\widehat C}}{4} = \dfrac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{{2 + 3 + 4}} \\= \dfrac{{{{180}^0}}}{9} = {20^0}.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = {20^0}.2 = {40^0}\\\widehat B = {20^0}.3 = {60^0}\\\widehat C = {20^0}.4 = {80^0}\end{array} \right..\end{array}$

Vậy các góc của tam giác ABC là: $\widehat A = {40^0};\,\,\widehat B = {60^0};\,\,\widehat C = {80^0}.$

Xét tam giác ABC có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$ mà $\widehat B + \widehat C = \widehat A$, do đó $2\widehat A = {180^0} \Rightarrow \widehat A = {90^0}$.

Trong tam giác ABC do $\widehat A = {90^0}$ nên $\widehat B + \widehat C = {90^ \circ }$. Mà $\widehat C = 2\widehat B$ do đó $3\widehat B = {90^0} \Rightarrow \widehat B = {30^0}$nên $\widehat C = {60^0}$

Do CD là tia phân giác của góc ACD nên $\widehat {ACD} = \widehat {DCB} = \widehat C:2 = {60^ \circ }:2 = {30^ \circ }$

Xét tam giác ADC có: $\widehat A + \widehat {ADC} + \widehat {ACD} = {180^0} \Rightarrow \widehat {ADC} = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat {ACD}} \right) = {180^0} - \left( {{{30}^0} + {{90}^ \circ }} \right) = {60^ \circ }$

Xét tam giác $ABC$  có :$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - {100^0} = {80^0}$(1)

Theo đề bài ta có:$\widehat B - \widehat C = {40^0}$ (2)

Từ (1) ta có: $\widehat C = {80^0} - \widehat B.$

Thế vào (2) ta được: $\widehat B - \left( {{{80}^0} - \widehat B} \right) = {40^0} \Leftrightarrow 2.\widehat B = {40^0} + {80^0} \Leftrightarrow \widehat B = \dfrac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0}.$

$\Rightarrow \widehat C = {80^0} - {60^0} = {20^0}.$

Các khẳng định A,B,D đúng.

Khẳng định C sai vì: Góc lớn nhất trong tam giác nhọn là một góc nhọn, góc lớn nhất trong tam giác vuông là góc vuông.

Xét tam giác $ABC$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat {BCA} = 180^\circ$(định lý tổng ba góc trong tam giác) mà $\widehat A = {50^0},\widehat B = {70^0}.$ Suy ra $\widehat {BCA} = 180^\circ  - 50^\circ  - 70^\circ  = 60^\circ .$

Vì $CM$ là tia phân giác của góc $BCA$ nên $\widehat {BCM} = \widehat {ACM} = \dfrac{{\widehat {BCA}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$

Ta có $\widehat {AMC}$ là góc ngoài tại đỉnh $M$ của tam giác $BCM$ nên ta có

$\widehat {AMC} = \widehat B + \widehat {BCM} = 70^\circ  + 30^\circ  = 100^\circ$

Lại có $\widehat {AMC} + \widehat {BMC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) suy ra $\widehat {BMC} = 180^\circ  - \widehat {AMC} = 80^\circ .$

Vậy $\widehat {AMC} = 100^\circ ;\,\widehat {BMC} = 80^\circ .$

Ta có góc cần tính là góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC nên:

$x = \widehat A + \widehat B = 90^\circ  + 40^\circ  = 130^\circ$

Xét tam giác $ABC$  có $\widehat B = {80^0}.$ Theo định lý về tổng ba góc trong tam giác ta có

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ  \Rightarrow \widehat A + \widehat C = 180^\circ  - \widehat B$$\Rightarrow \widehat A + \widehat C = 100^\circ .$

Lại có $3\widehat A = 2\widehat C \Rightarrow \dfrac{{\widehat A}}{2} = \dfrac{{\widehat C}}{3}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

$\dfrac{{\widehat A}}{2} = \dfrac{{\widehat C}}{3} = \dfrac{{\widehat A + \widehat C}}{{2 + 3}} = \dfrac{{100^\circ }}{5} = 20^\circ$

Suy ra $\widehat A = 40^\circ ;\,\widehat C = 60^\circ .$

Xét tam giác $ACF$  có :$\widehat A + \widehat {ACF} + \widehat {AFC} = {180^0} \Leftrightarrow {60^0} + \widehat {ACF} + {90^0} = {180^0}$

$\Rightarrow \widehat {ACF} = {180^0} - {60^0} - {90^0} = {30^0}.$

Xét $\Delta IEC$ ta có: $\widehat {IEC} + \widehat {ECI} + \widehat {EIC} = {180^0} \Leftrightarrow {30^0} + x + {90^0} = {180^0}$

$\Rightarrow x = {180^0} - {30^0} - {90^0} = {60^0}.$