Phép nhân đa thức một biến

Ta có: (x + 5) . (-x – 3) = x . (-x) + x . (-3) + 5 . (-x) + 5 . (-3) = -x² – 3x – 5x – 15 = -x² – 8x – 15

Ta có: $\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)$ $= x\left( {x - 2} \right) + x - 2$$= {x^2} - 2x + x - 2$$= {x^2} - x - 2$

Lại có: $\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = {x^2} + ax - 2$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - x - 2 = {x^2} + ax - 2\\ \Rightarrow a =  - 1.\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {{x^2} + 2x - 1} \right)\left( {2x + 4} \right)\\ = {x^2}\left( {2x + 4} \right) + 2x\left( {2x + 4} \right) - \left( {2x + 4} \right)\\ = 2{x^3} + 4{x^2} + 4{x^2} + 8x - 2x - 4\\ = 2{x^3} + 8{x^2} + 6x - 4.\end{array}$ .

$\Rightarrow$ Hệ số lớn nhất trong đa thức là 8.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {2x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) - 2{x^2} = 6\\ \Leftrightarrow 2x\left( {x - 2} \right) + 5\left( {x - 2} \right) - 2{x^2} = 6\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5x - 10 - 2{x^2} = 6\\ \Leftrightarrow x - 10 = 6\\ \Leftrightarrow x = 16\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {x + 2} \right)\left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right)\\ = x\left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) + 2\left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right)\\ = {x^4} + 3{x^3} - 4x + 2{x^3} + 6{x^2} - 8\\ = {x^4} + 5{x^3} + 6{x^2} - 4x - 8.\end{array}$

$\begin{array}{l}\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 5} \right)\left( {4 - x} \right) = 30\\ \Leftrightarrow 2x\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right) + x\left( {4 - x} \right) + 5\left( {4 - x} \right) = 30\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 3x - 6 + 4x - {x^2} + 20 - 5x = 30\\ \Leftrightarrow {x^2} + 14 = 30\\ \Leftrightarrow {x^2} = 16\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 4\end{array} \right..\end{array}$

Vậy $x = 4$ hoặc $x =  - 4.$

Gọi 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp là $x,\,\,x + 2,\,\,\,x + 4\,\,\left( { x \in \mathbb{N},\,\,x\,\, \vdots \,\,2} \right)$

Vì tích hai số sau lớn hơn tích hai số trước 56 nên ta có:

$\begin{array}{l}\left( {x + 4} \right)\left( {x + 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) = 56\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) + 4\left( {x + 2} \right) - {x^2} - 2x = 56\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 4x + 8 - {x^2} - 2x = 56\\ \Leftrightarrow 4x = 48\\ \Leftrightarrow x = 12\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy ba số tự nhiên chẵn cần tìm là: $12;\,\,14;\,\,16.$

Tổng của 3 số đó là: 12 + 14 + 16 = 42

Ta có:

 $\begin{array}{l}A = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 1} \right) - {x^2}\left( {x - 2} \right) - 2\\\,\,\,\,\, = \left( {x - 1} \right){x^2} - \left( {x - 1} \right)x - \left( {x - 1} \right) - {x^3} + 2{x^2} - 2\\\,\,\,\,\, = {x^3} - {x^2} - {x^2} + x - x + 1 - {x^3} + 2{x^2} - 2\\\,\,\,\,\, =  - 1.\end{array}$

Ta có: $A = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^7} - 4{x^6} + 4{x^5} - 4{x^4} + 4{x^3} - 4{x^2} - x} \right)$

Với $x = 3$ $\Rightarrow 4 = x + 1$ thay vào $A$ ta được:

$\begin{array}{l}A = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^7} - 4{x^6} + 4{x^5} - 4{x^4} + 4{x^3} - 4{x^2} - x} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {x + 1} \right)\left[ {{x^7} - \left( {x + 1} \right){x^6} + \left( {x + 1} \right){x^5} - \left( {x + 1} \right){x^4} + \left( {x + 1} \right){x^3} - \left( {x + 1} \right){x^2} - x} \right]\\\,\,\,\,\, = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^7} - {x^7} - {x^6} + {x^6} + {x^5} - {x^5} - {x^4} + {x^4} + {x^3} - {x^3} - {x^2} - x} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {x + 1} \right)\left( { - {x^2} - x} \right)\\\,\,\,\,\, =  - {x^3} - {x^2} - {x^2} - x\\\,\,\,\,\, =  - {x^3} - 2{x^2} - x\end{array}$

Từ đó với $x = 3$,  ta có $A =  - {3^3} - {2.3^2} - 3 =  - 48$

Vậy với $x = 3$, thì $A =  - 48$.

Ta có: A(x) = (-x² + 4x – 4). (x – 3) – (x² – 6x + 9) . (-x + 2)

= (-x²). (x – 3) + 4x . (x – 3) – 4. (x – 3) – [x² . (-x + 2) – 6x. (-x + 2) + 9. (-x + 2]

= -x³ + 3x² + 4x² – 12x – (4x – 12) – [-x³ + 2x² – (-6x² + 12x) + (-9x + 18)]

= -x³ + 3x² + 4x² – 12x – 4x + 12 – (- x³ + 2x² + 6x² – 12x – 9x + 18)

= -x³ + 3x² + 4x² – 12x – 4x + 12 + x³ – 2x² – 6x² + 12x + 9x – 18

= (-x³ +x³ ) + (3x² + 4x² – 2x² – 6x² ) + (– 12x – 4x + 12x + 9x ) + (12 – 18)

= -x² + 5x – 6

Vậy tổng hệ số các hạng tử của đa thức trên là: -1 + 5 + (-6) = -2