Góc ở vị trí đặc biệt. Tia phân giác của một góc

Vì tia \(Ot\)  là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\) thì \(\widehat {xOt} = \widehat {yOt} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ \) 

Vì hai đường thẳng \(zz'\)  và \(tt'\)  cắt nhau tại \(A\)  nên \(Az'\)  là tia đối của tia \(Az,At'\) là tia đối của tia \(At.\) Vậy góc đối đỉnh với \(\widehat {zAt'}\) là \(\widehat {z'At}\).

Vì \(On\) là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\) nên \(\widehat {xOn} = \widehat {nOy} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Vì hai đường thẳng \(xx'\)  và \(yy'\)  cắt nhau tại \(O\)  nên \(Ox'\)  là tia đối của tia \(Ox;Oy'\) là tia đối của tia \(Oy.\)

Suy ra \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy'}\) ; \(\widehat {x'Oy}\) và \(\widehat {xOy'}\) là hai cặp góc đối đỉnh.

Do đó \(\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 135^\circ \) và \(\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'}\)

Lại có \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy}\) là hai góc kề bù nên

\(\widehat {xOy} + \widehat {x'Oy} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow 45^\circ  + \widehat {x'Oy} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 180^\circ  - 135^\circ  = 45^\circ \)\( \Rightarrow 45^\circ  + \widehat {x'Oy} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 180^\circ  - 135^\circ  = 45^\circ \) 

Vậy \(\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 135^\circ \) và \(\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'} = 45^\circ .\)

Vì tia \(On\)  là tia phân giác của \(\widehat {mOt}\) nên \(\widehat {mOn} = \widehat {nOt} = \dfrac{{\widehat {mOt}}}{2}\)

\( \Rightarrow \widehat {mOt} = 2.\widehat {mOn} = 2.70^\circ  = 140^\circ \).

Vẽ \(\widehat {x'By'}\) là góc đối đỉnh với \(\widehat {xBy}\). Khi đó:

\(\widehat {x'By'} = \widehat {xBy} = {60^o}\) (tính chất hai góc đối đỉnh)

Ta có : \(\widehat {aMc} + \widehat {bMc} = 180^\circ \) ( 2 góc kề bù)

Mà \(\widehat {aMc} = 5.\widehat {bMc}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5.\widehat {bMc} + \widehat {bMc} = 180^\circ \\ \Rightarrow 6.\widehat {bMc} = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {bMc} = 180^\circ :6 = 30^\circ \\ \Rightarrow \widehat {aMc} = 5.30^\circ  = 150^\circ \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5.\widehat {bMc} + \widehat {bMc} = 180^\circ \\ \Rightarrow 6.\widehat {bMc} = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {bMc} = 180^\circ :6 = 30^\circ \\ \Rightarrow \widehat {aMc} = 5.30^\circ  = 150^\circ \end{array}\)

Vì tia \(OB\) là tia phân giác của góc \(AOC\) nên \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \dfrac{{\widehat {AOC}}}{2}\)

Do đó \(\widehat {AOC} = 2.\widehat {AOB} = 2.90^\circ  = 180^\circ \)

Nên góc \(AOC\) là góc bẹt.

Vì góc \(ABC'\)  kề bù với góc \(ABC\)  nên \(BC'\)  là tia đối của tia \(BC.\)

Vì góc \(C'BA'\)  kề bù với góc \(ABC'\)  nên \(BA'\)  là tia đối của tia \(BA.\)

Do đó, góc \(C'BA'\)  và góc \(ABC\)  đối đỉnh.

\( \Rightarrow \widehat {C'BA'} = \widehat {ABC} = {56^o}\) 

Vì tia \(OA\)  là tia phân giác của \(\widehat {BOC}\) nên ta có

\(\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \dfrac{{\widehat {BOC}}}{2}\) nên \(\widehat {AOB} = 60^\circ ;\,\widehat {BOC} = 2.\widehat {AOC} = 2.60^\circ  = 120^\circ \)

Vậy \(\widehat {AOB} = 60^\circ ;\,\widehat {BOC} = 120^\circ \).

Ta có \(\widehat {zOt} + \widehat {tOz'} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) mà \(\widehat {tOz'} = 4.\widehat {tOz}\) \( \Rightarrow \widehat {zOt} + 4.\widehat {zOt} = 180^\circ \) \( \Rightarrow 5.\widehat {zOt} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {zOt} = 36^\circ \)

Vì  \(\widehat {tOz}\) và \(\widehat {t'Oz'}\)  là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {zOt} = \widehat {z'Ot'} = 36^\circ .\)

Vì hai đường thẳng \(xx'\)  và \(yy'\)  cắt nhau tại \(O\)  nên \(Ox'\)  là tia đối của tia \(Ox;Oy'\) là tia đối của tia \(Oy.\)

Suy ra \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy'}\) ; \(\widehat {x'Oy}\) và \(\widehat {xOy'}\) là hai cặp góc đối đỉnh.

Do đó \(\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 125^\circ \) và \(\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'}\)

Lại có \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy}\) là hai góc ở vị trí kề bù nên

\(\widehat {xOy} + \widehat {x'Oy} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow 125^\circ  + \widehat {x'Oy} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 180^\circ  - 125^\circ  = 55^\circ \)

Hai góc có số đo bằng  55^o là : \(\widehat {xOy'}\,\,;\,\,\widehat {x'Oy}\)

Vì \(\widehat {AOB}\) và \(\widehat {AOC}\) không kề nhau nên hai tia \(OC;OB\) thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia \(OA\). Lại có \(\widehat {AOC} < \widehat {AOB}\,\left( {55^\circ  < 110^\circ } \right)\) nên tia \(OC\) nằm giữa hai tia \(OA\) và \(OB.\) (1)

Từ đó \(\widehat {AOC} + \widehat {COB} = \widehat {AOB}\,\) hay \(\widehat {COB} = \widehat {AOB} - \widehat {AOC} = 110^\circ  - 55^\circ  = 55^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC} = 55^\circ \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia \(OC\) là tia phân giác góc \(AOB.\)

Vậy A, B, D đúng và C sai.

Vì Ok là tia phân giác của  \(\widehat {mOn}\) nên \(\widehat {mOk} = \widehat {nOk} = \frac{1}{2}.\widehat {mOn} = \frac{1}{2}.70^\circ  = 35^\circ \)

Vì \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {yOz}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 180^\circ \) mà \(\widehat {xOy} = 120^\circ \) nên \(\widehat {yOz} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ \).

Lại có tia \(Ot\) là tia phân giác của \(\widehat {yOz}\) nên \(\widehat {zOt} = \dfrac{1}{2}\widehat {yOz} = \dfrac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ \)

Lại có \(\widehat {zOt};\,\widehat {tOx}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {zOt} + \widehat {tOx} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {tOx} = 180^\circ  - \widehat {zOt}\)\( = 180^\circ  - 30^\circ  = 150^\circ .\)

Vậy \(\widehat {tOx} = 150^\circ .\)

Ta có : \(\widehat {QON} = \widehat {MOP} = 50^\circ \) ( 2 góc đối đỉnh)

\(\widehat {MOQ} + \widehat {QON} = {180^o}\) ( 2 góc kề bù)

\(\widehat {MOP} + \widehat {PON} = 180^\circ \) ( 2 góc kề bù)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow 50^\circ  + \widehat {PON} = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat {PON} = 180^\circ  - 50^\circ  = 130^\circ \end{array}\)

Vì OK là tia phân giác của \(\widehat {PON}\)

\( \Rightarrow \widehat {POK} = \widehat {NOK} = \frac{1}{2}.\widehat {PON} = \frac{1}{2}.130^\circ  = 65^\circ \)

Vậy khẳng định A, C, D đúng, B sai

Vì tia \(OM\) là tia phân của góc \(BOC\)

nên \(\widehat {BOC} = 2.\widehat {BOM} = 2.35^\circ  = 70^\circ \)

Lại có tia \(OC\) là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\) nên \(\widehat {AOB} = 2.\widehat {BOC} = 2.70^\circ  = 140^\circ \). Vậy \(\widehat {AOB} = 140^\circ \).

Vì \(Ot\)  là tia phân giác của góc \(xOx'\) nên \(\widehat {xOt} = \widehat {tOx'} = \frac{1}{2}\widehat {xOx'} = \frac{1}{2}{.70^o} = {35^o}\)

Vì \(Oy\) là tia đối của \(Ox,Ot'\) là tia đối của \(Ot\)

\( \Rightarrow \widehat {yOt'} = \widehat {xOt} = {35^o}\) (tính chất hai góc đối đỉnh).

Giả sử tia \(On\) là tia phân giác của góc \(yOm\) thì \(\widehat {mOy} = 2.\widehat {yOn} = 2.70^\circ  = 140^\circ \).

Mà hai góc \(\widehat {xOm};\widehat {yOm}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {xOm} + \widehat {yOm} = 180^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {xOm} = 180^\circ  - \widehat {yOm}\) \( = 180^\circ  - 140^\circ  = 40^\circ \).

Vậy \(a = 40 ^\circ\).

Ta có: \(\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 180^\circ \) ( 2 góc kề bù)

\(\widehat {xOm} = \widehat {mOy} = \frac{1}{2}.\widehat {xOy} = \frac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ \)

Vì Om là tia phân giác của góc xOy nên \(\widehat {xOm} = \widehat {mOy} = \frac{1}{2}.\widehat {xOy} = \frac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ \)

Vì On là tia phân giác của góc yOz nên \(\widehat {yOn} = \widehat {nOz} = \frac{1}{2}.\widehat {yOz} = \frac{1}{2}.120^\circ  = 60^\circ \)

Vì Oy nằm giữa 2 tia Om và On nên \(\widehat {mOn} = \widehat {mOy} + \widehat {yOn} = 30^\circ  + 60^\circ  = 90^\circ \)