Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Sách kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác \(NPM\) có \(BC = PM;\,\widehat B = \widehat P = 90^\circ \). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác \(ABC\) và tam giác \(NPM\) bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền-cạnh góc vuông ?
Ta có tam giác \(ABC\) và tam giác \(NPM\) có \(BC = PM;\,\widehat B = \widehat P = 90^\circ \) mà \(BC;PM\) là hai cạnh góc vuông của hai tam giác \(ABC\) và \(NPM\) nên để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền-cạnh góc vuông thì ta cần thêm hai cạnh huyền bằng nhau là \(CA = MN.\)
Cho tam giác ABC và tam giác KHI có: \(\widehat A = \widehat K = 90^\circ ;\,AB = KH;\,BC = HI\) . Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng:
Xét tam giác ABC và tam giác KHI có:
\(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat K = 90^\circ \\AB = KH\;\;\left( {gt} \right)\\BC = HI\;\;\;\left( {gt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta KHI\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có \(\widehat A = \widehat M = {90^0},\,\widehat C = \widehat P\). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề:
Ta có: \(\,\widehat C = \widehat P\), mà góc $C$ và góc $P$ là hai góc nhọn kề của hai tam giác $ABC$ và $MNP$
Do đó: để tam giác vuông $ABC$ và tam giác vuông $MNP$ bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề thì cần cặp cạnh góc vuông kề với hai góc nhọn \(\widehat C\) và \(\widehat P\) của hai tam giác này bằng nhau, tức là bổ sung thêm điều kiện \(AC = MP.\)
Cho tam giác DEF và tam giác HKG có \(\widehat D = \widehat H = 90^\circ \), \(\widehat E = \widehat K\), DE = HK.Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc G là:
Xét tam giác DEF và tam giác HKG có
\(\begin{array}{l}\widehat D = \widehat H = {90^0}\\\widehat E = \widehat K\;\;\left( {gt} \right)\\DE = HK\;\;\left( {gt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta DEF = \Delta HKG\) (g.c.g).
\( \Rightarrow \widehat F = \widehat G = 80^\circ \) ( hai góc tương ứng)
Cho tam gác $ABC$ và tam giác $DEF$ có \(\widehat B = \widehat E = {90^0},\,AC = DF,\,\,\widehat A = \widehat F\). Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây là đúng
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $FED$ có:
+ \(\widehat B = \widehat E = {90^0}\).
+ \(AC = DF\;\;\left( {gt} \right)\)
+ \(\,\,\widehat A = \widehat F\;\;\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta FED\) (cạnh huyền - góc nhọn)
Tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) và MK vuông góc với AC (K thuộc AC). Khẳng định nào sau đây không đúng:
Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta AKM\) có:
\(\widehat H = \widehat K = 90^\circ \;\;(gt)\)
AM chung
\(\widehat {HAM} = \widehat {KAM}\) (vì AM là tia phân giác góc A)
\( \Rightarrow \Delta AHM = \Delta AKM\) (cạnh huyền – góc nhọn),
\( \Rightarrow \)\(MH = MK;\,AH = AK\) (các cặp cạnh tương ứng) nên khẳng định A, B đúng
Xét \(\Delta BHM\) và \(\Delta CKM\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat H = \widehat K = 90^\circ \;(gt)\\HM = KM\;(cmt)\end{array}\)
\(BM = MC\) (M là trung điểm của BC)
\( \Rightarrow \Delta BHM = \Delta CKM\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) ( hai góc tương ứng) nên khẳng định D đúng
Cho tam giác \(ABC\) và tam giác $KHI$ có: \(\widehat A = \widehat K = 90^\circ ;\,AB = KH;\,BC = HI\) . Phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng:
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $KHI$ có:
\(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat K = 90^\circ \\AB = KH\;\;\left( {gt} \right)\\BC = HI\;\;\;\left( {gt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta KHI\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Cho góc nhọn xBy. Kẻ tia phân giác Bm của góc xBy. Trên tia Bm lấy điểm M bất kì. Kẻ MH vuông góc với Bx, MK vuông góc với By (H \( \in \) Bx, K \( \in \) By). Khẳng định sai là:
Vì Bm là tia phân giác của góc xBy nên \(\widehat {HBM} = \widehat {KBM}\)
Xét tam giác vuông HBM và KBM, có:
BM chung
\(\widehat {HBM} = \widehat {KBM}\)
\( \Rightarrow \Delta HBM = \Delta KBM\) ( cạnh huyền – góc nhọn)
\( \Rightarrow \)HB = KB; MH = MK ( 2 cạnh tương ứng) nên khẳng định A,B đúng
\(\widehat {BMH} = \widehat {BMK}\)( 2 góc tương ứng), mà tia MB nằm giữa MH và MK nên MA là tia phân giác của góc HMK nên khẳng định C đúng
Cho tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có $AB = DE$ , \(\widehat B = \widehat E\) , \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \). Biết $AC = 9cm.$ Độ dài $DF$ là:
Xét tam giác $ABC$ và tam giác $DEF$ có
\(AB = DE\;\;\left( {gt} \right);\,\widehat B = \widehat E\;\;\left( {gt} \right);\,\widehat A = \widehat D = {90^0}.\)
\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta DEF\)( cạnh góc vuông - góc nhọn) .
\( \Rightarrow DF = AC = 9\,cm\) (hai cạnh tương ứng bằng nhau)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB > AC} \right).\) Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) ở \(D.\) Kẻ \(DH\) vuông góc với \(BC.\) Trên tia \(AC\) lấy \(E\) sao cho \(AE = AB.\) Đường thẳng vuông góc với \(AE\) tại \(E\) cắt tia \(DH\) tại \(K.\) Chọn câu đúng.
Xét tam giác vuông \(BAD\) và \(BHD\) có
\(AD\) chung
\(\widehat {ABD} = \widehat {HBD}\) (tính chất tia phân giác)
Nên \(\Delta ABD = \Delta HBD\left( {ch - gn} \right)\) \( \Rightarrow BA = BH\) (hai cạnh tương ứng).
Cho tam giác $DEF$ và tam giác $HKI$ có \(\widehat D = \widehat H = 90^\circ \), \(\widehat E = \widehat K\), $DE = HK.$ Biết \(\widehat F = {80^0}\). Số đo góc \(I\) là:
Xét tam giác $DEF$ và tam giác $HKI$ có
\(\widehat D = \widehat H = {90^0};\,\widehat E = \widehat K\;\;\left( {gt} \right);\,DE = HK\;\;\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta DEF = \Delta HKI\) (cạnh góc vuông - góc nhọn).
\( \Rightarrow \widehat F = \widehat I = 80^\circ \) ( hai góc tương ứng)
Cho tam giác ABC có \(\widehat B = 40^\circ ;\widehat C = 70^\circ \). Kẻ BD vuông góc với AC. Biết AD = 4 cm, tính độ dài cạnh AC.
Xét tam giác ABC, có \(\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat C = 180^\circ \) ( tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat A + 40^\circ + 70^\circ = 180^\circ \\ \Rightarrow \widehat A = 70^\circ \\ \Rightarrow \widehat A = \widehat C\end{array}\)
Trong \(\Delta \)ABD vuông tại D, có \(\widehat A + \widehat {ABD} = 90^\circ \)
Trong \(\Delta \)CBD vuông tại D, có: \(\widehat C + \widehat {CBD} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {CBD}\)
Xét \(\Delta \)ABD và \(\Delta \)CBD , ta có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {CDB}( = 90^\circ )\)
BD chung
\(\widehat {ABD} = \widehat {CBD}\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta \)ABD = \(\Delta \)CBD ( g.c.g)
\( \Rightarrow \) AD = CD ( 2 cạnh tương ứng)
Mà AD = 4cm
\( \Rightarrow \)CD = 4 cm
Ta có:
AC = AD + CD = 4 + 4 = 8 ( cm)
Cho hình vẽ sau. Chọn câu đúng.
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (do \(AB = AC\) ) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất) (1)
Lại có \(\widehat {ABC} + \widehat {ABD} = 180^\circ \) và \(\widehat {ACB} + \widehat {ACE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra \(\widehat {ABD} = 180^\circ - \widehat {ABC}\) ; \(\widehat {ACE} = 180^\circ - \widehat {ACB}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\)
Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(ACE\) có
\(AB = AC;\,\)\(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\,\left( {cmt} \right);\)\(BD = CE\,\)
Suy ra \(\Delta ABD = \Delta ACE\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {DAB} = \widehat {CAE}\) (hai góc tương ứng)
Xét tam giác \(AHB\) và \(AKC\) có
+ \(\widehat H = \widehat K = 90^\circ \)
+ \(AB = AC\)
+ \(\widehat {DAB} = \widehat {CAE}\,\left( {cmt} \right)\)
Suy ra \(\Delta AHB = \Delta AKC\,\left( {ch - gn} \right)\)
Cho tam giác\(ABC\)và tam giác \(NPM\) có \(BC = PM;\,\widehat B = \widehat P = 90^\circ \). Cần thêm một điều kiện gì để tam giác \(ABC\)và tam giác \(NPM\)bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền-cạnh góc vuông ?
Ta có tam giác\(ABC\)và tam giác \(NPM\) có \(BC = PM;\,\widehat B = \widehat P = 90^\circ \) mà BC, PM là hai cạnh góc vuông của hai tam giác \(ABC\) và \(NPM\) nên để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền-cạnh góc vuông thì ta cần thêm hai cạnh huyền bằng nhau là \(CA = MN.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(AM\) là tia phân giác của góc \(A\). Khi đó, tam giác \(ABC\) là tam giác gì?
Tam giác \(ABC\) có \(AM\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác nên \(\Delta BAC\) cân tại $A.$
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Một đường thẳng \(d\) bất kì luôn đi qua \(A\). Kẻ \(BH\) và \(CK\) vuông góc với đường thẳng \(d.\) Khẳng định đúng là:
Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AB = AC\) (tính chất)
Lại có \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \) (vì \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ) và \(\widehat {CAH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \)
Nên \(\widehat {ABH} = \widehat {CAK}\) (cùng phụ với \(\widehat {BAH}\) )
\( \Rightarrow \Delta ABH = \Delta CAK\) (cạnh huyền-góc nhọn) nên \(BH = AK.\)( 2 cạnh tương ứng)
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\). Một đường thẳng \(d\) bất kì luôn đi qua \(A\). Kẻ \(BH\) và \(CK\) vuông góc với đường thẳng \(d.\) Khi đó tổng \(B{H^2} + C{K^2}\) bằng
Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AB = AC\) (tính chất)
Lại có \(\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \) (vì \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ) và \(\widehat {CAH} + \widehat {BAH} = 90^\circ \)
Nên \(\widehat {ABH} = \widehat {CAK}\) (cùng phụ với \(\widehat {BAH}\) )
\( \Rightarrow \Delta ABH = \Delta CAK\) (cạnh huyền-góc nhọn) suy ra \(BH = AK.\)
Do đó \(B{H^2} + C{K^2} = A{K^2} + C{K^2}\,\,\left( 1 \right)\)
Xét tam giác \(ACK\), theo định lý Pytago: \(A{K^2} + C{K^2} = A{C^2}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(B{H^2} + C{K^2} = A{C^2}.\)
Cho tam giác ABC. Từ A vẽ một cung tròn có bán kính bằng BC và từ C vẽ một cung tròn có bán kính bằng AB, hai cung tròn này cắt nhau tại D (D nằm khác phía của B đối với AC). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) và CK vuông góc với AD (K thuộc AD). Chọn câu sai
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDA\) có:
\(\begin{array}{l}AC\;\;chung\\AB = CD\;(cmt)\\BC = DA\;(cmt)\\ \Rightarrow \Delta ABC = \Delta CDA(c - c - c)\end{array}\)
\( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {CAD}\) (hai góc tương ứng)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.
Ta có: \(\widehat {ACB} = \widehat {CAD}\;\;(cmt) \Rightarrow \widehat {ACH} = \widehat {CAK}\)
Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta CKA\) có:
\(\begin{array}{l}AC\;chung\\\widehat H = \widehat K = 90^\circ \;(gt)\\\widehat {ACH} = \widehat {CAK}\;\;\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta AHC = \Delta CKA\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\( \Rightarrow AH = CK\) ( hai cạnh tương ứng).
Do đó, A,B,D là các khẳng định đúng
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)\(\left( {AB > AC} \right).\) Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) ở \(D.\) Kẻ \(DH\) vuông góc với \(BC.\) Trên tia \(AC\) lấy \(E\) sao cho \(AE = AB.\) Đường thẳng vuông góc với \(AE\) tại \(E\) cắt tia \(DH\) tại \(K.\)
Chọn câu đúng.
Xét hai tam giác vuông \(BAD\) và \(BHD\) có \(\widehat A = \widehat H = 90^\circ ;\,\widehat {ABD} = \widehat {HBD}\) (vì \(BD\) là tia phân giác góc \(B\)) và cạnh \(BD\) chung
\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta HBD\left( {ch - gn} \right)\) \( \Rightarrow BA = BH\) (hai cạnh tương ứng).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)\(\left( {AB > AC} \right).\) Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) ở \(D.\) Kẻ \(DH\) vuông góc với \(BC.\) Trên tia \(AC\) lấy \(E\) sao cho \(AE = AB.\) Đường thẳng vuông góc với \(AE\) tại \(E\) cắt tia \(DH\) tại \(K.\)
Tính số đo góc \(DBK.\)
+ Qua \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(EK\) cắt \(EK\) tại \(F\)
Khi đó ta có \(ABFE\) là hình vuông nên \(\widehat {ABF} = 90^\circ \) và \(AB = BF\)
Lại có \(AB = BH\) (ý trước) nên \(BH = BF\)
Xét hai tam giác vuông \(BHK\) và \(BFK\) có \(BH = BF\left( {cmt} \right);\,BK\) cạnh chung
Nên \(\Delta BHK = \Delta BFK\left( {ch - cgv} \right)\)\( \Rightarrow \widehat {FBK} = \widehat {HBK}\)
Lại có \(\widehat {ABD} = \widehat {DBH}\) (do \(BD\) là phân giác góc \(\widehat {ABC}\) )
Nên \(\widehat {DBH} + \widehat {HBK} = \widehat {ABD} + \widehat {KBF} = \dfrac{{\widehat {DBH} + \widehat {HBK} + \widehat {ABD} + \widehat {KBF}}}{2}\)\(\dfrac{{\widehat {ABF}}}{2} = \dfrac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)
Mà Vậy \(\widehat {DBK} = \widehat {DBH} + \widehat {HBK} = 45^\circ .\)
