Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Xét tam giác vuông AIH và AIK có:

AI chung

$\widehat {HAI} = \widehat {KAI}$ ( do AI là tia phân giác của góc BAC)

$\Rightarrow \Delta AIH = \Delta AIK$ ( cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow$ AH = AK ; IH = IK ( các cạnh tương ứng) nên A đúng

Xét tam giác vuông MBI và MCI có:

MB = MC ( do M là trung điểm của BC)

$\widehat {BMI} = \widehat {CMI}( = 90^\circ )$

MI chung

$\Rightarrow$$\Delta MBI = \Delta MCI$ ( c.g.c)

$\Rightarrow$ BI = CI ( 2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác vuông HBI và KCI có:

BI = CI ( cmt)

HI = KI ( cmt)

$\Rightarrow$$\Delta HBI = \Delta KCI$ ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow$ HB = KC ( 2 cạnh tương ứng) nên D đúng

Ta có:

AB + AC = (AH – HB) + (AK + KC) = AK – KC + AK + KC = 2.AK ( vì AH = AK, HB = KC)

$\Rightarrow AK = \frac{{AB + AC}}{2}$ nên B đúng

$\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC,\,\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$     (1)

Mặt khác: $\widehat {ABM} + \widehat {ABC} = {180^o}$ (kề bù)      (2)

                 $\widehat {ACN} + \widehat {ACB} = {180^o}$ (kề bù)       (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat {ABM} = \widehat {ACN}$.

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$ có:

$AB = AC\,\,(cmt)$

$\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\,\,(cmt)$

$BM = CN\,\,(gt)$

$\Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACN\,\,(c.g.c)$

$\Rightarrow AM = AN$ (hai cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại $A.$

Sử dụng kết quả câu trước ta có $\Delta ABM = \Delta ACN\,\,$ suy ra $\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}$ (hai góc tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $ABE$ và $ACF$ có:

$\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = {90^o}$

$AB = AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\,\,(cmt)$

$\Rightarrow \Delta ABE = \Delta ACF$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow BE = CF$ (hai cạnh tương ứng).

Sử dụng kết quả câu trước $\Delta ABE = \Delta ACF$ nên $BE = CF$ (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông $BME$ và $CNF$ có:

$\widehat {BEM} = \widehat {CFN} = {90^o}$

$BE = CF\,\,(cmt)$

$MB = NC\,\,(gt)$

$\Rightarrow \Delta BME = \Delta CNF$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).