Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Ta có $\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y - z}}{{a + b - c}} \ne \dfrac{{x + y - z}}{{a - b + c}}$  nên D sai.

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{x + y}}{{3 + 5}} = \dfrac{{ - 32}}{8} =  - 4$

Do đó $\dfrac{x}{3} =  - 4 \Rightarrow x =  - 12$  và $\dfrac{y}{5} =  - 4 \Rightarrow y =  - 20.$

Vậy $x =  - 12;y =  - 20.$

Ta có $7x = 4y \Rightarrow \dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{7}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\dfrac{y}{7} = \dfrac{x}{4} = \dfrac{{y - x}}{{7 - 4}} = \dfrac{{24}}{3} = 8$

Do đó $\dfrac{x}{4} = 8 \Rightarrow x = 32$  và  $\dfrac{y}{7} = 8 \Rightarrow y = 56$

Vậy $x = 32;y = 56.$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} = \dfrac{{x + y + z}}{{2 + 3 + 5}} = \dfrac{{ - 90}}{{10}} =  - 9$

Do đó $\dfrac{x}{2} =  - 9 \Rightarrow x =  - 18$

$\dfrac{y}{3} =  - 9 \Rightarrow y =  - 27$

$\dfrac{z}{5} =  - 9 \Rightarrow z =  - 45$

Vậy số lớn nhất trong ba số trên là x = -18

Đặt $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = k$ta có $x = 2k;\,y = 5k$

Nên $x.y = 2k.5k = 10{k^2} = 10 \Rightarrow {k^2} = 1$ $\Rightarrow k = 1$ hoặc $k =  - 1$.

Với $k = 1$ thì $x = 2;y = 5$

Với $k =  - 1$ thì $x =  - 2;y =  - 5$

Vì $x > 0;y > 0$ nên $x = 2;y = 5$ từ đó $x - y = 2 - 5 =  - 3.$

Ta có: $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}$$\Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} = \dfrac{{{y^2}}}{{16}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} = \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{25 - 16}} = \dfrac{9}{9} = 1$

Do đó: $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} = 1 \Rightarrow {x^2} = 25 \Rightarrow$ $x = 5$ hoặc $x =  - 5$

$\dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow {y^2} = 16 \Rightarrow$ $y = 4$ hoặc $y =  - 4$

Lại có: $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{4}$ nên $x,y$ cùng dấu.

Nên có hai cặp số thỏa mãn là $x = 5;y = 4$ hoặc $x =  - 5;y =  - 4.$

Gọi số học sinh lớp 7A1, 7A2, 7A3  lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo bài ra ta có $x + y + z = 180$; $x = \dfrac{9}{10}y;\,y = \dfrac{{10}}{{11}}z$

Suy ra $10x = 9y \Rightarrow \dfrac{x}{9} = \dfrac{y}{10} ; 11y = 10z \Rightarrow \dfrac{y}{{10}} = \dfrac{z}{{11}}$

Nên $\dfrac{x}{{9}} = \dfrac{y}{{10}} = \dfrac{z}{{11}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\dfrac{x}{{9}} = \dfrac{y}{{10}} = \dfrac{z}{{11}}$$= \dfrac{{x + y + z}}{{9 + 10 + 11}} = \dfrac{{180}}{{30}} = 6$

Do đó: $x = 9.6 = 54$; $y = 10.6 = 60$; $z = 11.6=66$

Số học sinh lớp $7A1$ là $54$ học sinh.

Gọi các cạnh của tam giác là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo đề bài ta có $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3}$ và $x + y + z = 120$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3} = \dfrac{{x + y + z}}{{4 + 5 + 3}} = \dfrac{{120}}{{12}} = 10$

Do đó $x = 4.10 = 40\,m$; $y = 5.10 = 50m$; $z = 3.10 = 30\,m$.

Cạnh nhỏ nhất của tam giác dài $30\,m.$

Ta có $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$$\Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$

Mặt khác $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{7a}}{{7c}} = \dfrac{{3b}}{{3d}} = \dfrac{{7a + 3b}}{{7c + 3d}} = \dfrac{{7a - 3b}}{{7c - 3d}}$

Từ $\dfrac{{7a + 3b}}{{7c + 3d}} = \dfrac{{7a - 3b}}{{7c - 3d}} \Rightarrow \dfrac{{7a + 3b}}{{7a - 3b}} = \dfrac{{7c + 3d}}{{7c - 3d}}$

Gọi lượng nước các vòi thứ nhất, thứ hai, thứ ba đã chảy vào hồ theo thứ tự là $x,y,z(x,y,z > 0$; đơn vị:${m^3}$), thì thời gian mà các vòi đã chảy tương ứng là $3x,5y,8z$ (phút)

Theo bài ra ta có:

$x + y + z = 15,8$ và $3x = 5y = 8z$ .

Vì $3x = 5y = 8z$$\Rightarrow \dfrac{{3x}}{{120}} = \dfrac{{5y}}{{120}} = \dfrac{{8z}}{{120}} \Rightarrow$$\dfrac{x}{{40}} = \dfrac{y}{{24}} = \dfrac{z}{{15}}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{{40}} = \dfrac{y}{{24}} = \dfrac{z}{{15}} = \dfrac{{x + y + z}}{{40 + 24 + 15}} = \dfrac{{15,8}}{{79}} = 0,2$

Do đó $\dfrac{x}{{40}} = 0,2 \Rightarrow x = 40.0,2 = 8\left( {{m^3}} \right)$

      $\dfrac{y}{{24}} = 0,2 \Rightarrow y = 24.0,2 = 4,8\left( {{m^3}} \right)$

     $\dfrac{z}{{15}} = 0,2 \Rightarrow z = 15.0,2 = 3\left( {{m^3}} \right)$

Vậy lượng nước các vòi thứ nhất, thứ hai, thứ ba đã chảy vào hồ theo thứ tự lần lượt là $8{m^3};4,8{m^3};3{m^3}$nên vòi chảy nhanh nhất là vòi 1 chảy được 8 m³