Đa thức một biến

Ta có: (-2x²).5x³ = (-2). 5 . (x² . x³) = -10 . x⁵

Bậc của đơn thức này là 5

Đa thức ${x^3} - 2{x^2} + 3$ là đa thức một biến

Hệ số tự do của đa thức ${x^2} + \left( {a + b} \right)x - 5a + 3b + 2$ là $- 5a + 3b + 2.$

Hệ số cao nhất của đa thức $5{x^6} + 6{x^5} + {x^4} - 3{x^2} + 7$ là $5.$

Ta có số mũ cao nhất của biến trong đa thức $8{x^8} - {x^2} + {x^9} + {x^5} - 12{x^3} + 10$ là $9$ nên bậc của đa thức $8{x^8} - {x^2} + {x^9} + {x^5} - 12{x^3} + 10$ là $9.$

Ta có: $6{x^3} + 5{x^4} - 8{x^6} - 3{x^2} + 4 =  - 8{x^6} + 5{x^4} + 6{x^3} - 3{x^2} + 4$

Thay $x =  - 2$ vào biểu thức $A$, ta có

$A = {\left( { - 2} \right)^4} - 4.{\left( { - 2} \right)^3} + \left( { - 2} \right) - 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1$

$= 16 + 32 - 2 - 12 + 1 = 35$

Vậy với $x =  - 2$ thì $A = 35.$

Thay $x =  - 2$ vào biểu thức $A$, ta có

$A = {\left( { - 2} \right)^4} - 4.{\left( { - 2} \right)^3} + \left( { - 2} \right) - 3.{\left( { - 2} \right)^2} + 1$

$= 16 + 32 - 2 - 12 + 1 = 35$

Vậy với $x =  - 2$ thì $A = 35.$

Thay $x =  - 2$ vào $f\left( x \right) = {x^5} + 2$ ta được $f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^5} + 2 =  - 30$

Thay $x =  - 2$ vào $g\left( x \right) = 5{x^3} - 4x + 2$ta được  $g\left( { - 2} \right) = 5.{\left( { - 2} \right)^3} - 4.\left( { - 2} \right) + 2 =  - 30$

Suy ra $f\left( { - 2} \right) = g\left( { - 2} \right)\,\,\left( {{\rm{do}}\, - 30 =  - 30} \right)$

Thay $x = 1$ vào $f\left( x \right)$ ta được $f\left( 1 \right) = 1 + {1^3} + {1^5} + {1^7} + ... + {1^{101}}$ $= \underbrace {1 + 1 + 1 + ... + 1}_{51\,số\,1} = 51.1 = 51$

Thay $x =  - 1$ vào $f\left( x \right)$ ta được $f\left( { - 1} \right) = 1 + {\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^5} + ... + {\left( { - 1} \right)^{101}}$

$= 1 + \underbrace {\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + ... + \left( { - 1} \right)}_{5\,0\,số\,\,\left( { - 1} \right)}$ $= 1 + 50.\left( { - 1} \right) = 1 - 50 =  - 49$

Vậy $f\left( 1 \right) = 51;f\left( { - 1} \right) =  - 49$

Thay $x = 0$ vào $f\left( x \right)$ ta được $f\left( 0 \right) = a.0 + b = 7 \Rightarrow b = 7$

Ta được $f\left( x \right) = ax + 7$

Thay $x = 2$ vào $f\left( x \right) = ax + 7$ ta được $f\left( 2 \right) = a.2 + 7 = 13 \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3$

Vậy $f\left( x \right) = 3x + 7.$

Ta có : f(-9) = 3. (-9)² + 15 . (-9) + 12 = 3.81 + (-135) +12 = 120

f(1) = 3. 1² +15 . 1 + 12 = 30

f(-1) = 3. (-1)² + 15. (-1)  +12 = 0

f(-2) = 3. (-2)² + 15. (-2) + 12 = -6

Vì f(-1) = 0 nên x = -1 là nghiệm của đa thức f(x)

$f(x) = 0 \Rightarrow (x + 14)(x - 4) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 14 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 14\\x = 4\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của đa thức f(x) là {4;  –14}.

$P(x) = 0 \Rightarrow  - 3{x^2} + 27 = 0 \Rightarrow  - 3{x^2} =  - 27 \Rightarrow {x^2} = 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 3\end{array} \right.$

Vậy đa thức P(x) có 2 nghiệm.

Q(x) nhận –3 là nghiệm nên Q(–3) = 0

$\begin{array}{l} \Rightarrow a.{( - 3)^2} - 3.( - 3) + 9 = 0 \Rightarrow 9a + 9 + 9 = 0\\ \Rightarrow 9a =  - 18\,\, \Rightarrow \,a =  - 2\end{array}$

Vậy Q(x) nhận –3 là nghiệm thì $a =  - 2$.

Xét - x² + 3x = 0

$\Leftrightarrow$ x . (-x +3) = 0

$\Leftrightarrow$$\left[ {_{ - x + 3 = 0}^{x = 0}} \right. \Leftrightarrow \left[ {_{x = 3}^{x = 0}} \right.$

Vậy x = 0; x = 3

M = -x² + 5x – 4x³ + (-2x)²

= -x² + 5x – 4x³ + 4x²

=( -x² + 4x²) + 5x – 4x³

=3x² + 5x – 4x³

Vì $(x - 1)f(x) = (x + 4)f(x + 8)$với mọi x nên suy ra:

• Khi x – 1 = 0, hay x = 1 thì ta có:

 $(1 - 1).f(1) = (1 + 4)f(1 + 8) \Rightarrow 0.f(1) = 5.f(9)\,\,\, \Rightarrow f(9) = 0$

Vậy x = 9 là một nghiệm của  f(x).

• Khi x + 4 = 0, hay x = –4 thì ta có: $( - 4 - 1).f( - 4) = ( - 4 + 4).f( - 4 + 8)\,\,\, \Rightarrow - 5.f( - 4) = 0.f(4) \Rightarrow f( - 4) = 0$

Vậy x =  –4  là một nghiệm của  f(x).

Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 9 và –4.