Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ta thấy các phân số trên đều đã tối giản.

Các số 13; 11; 9 có các ước khác 2, 5 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Số 80 = 2⁴ . 5 chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 nên viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn.

Ta có

+ $25 = {5^2}$ nên phân số $\dfrac{2}{{25}}$ viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Do đó A đúng.

+ $\dfrac{{55}}{{ - 300}} = \dfrac{{ - 11}}{{60}}$ . Thấy $60 = {2^2}.3.5$ (chứa thừa số $3$ khác $2;5$) nên phân số $\dfrac{{ - 55}}{{300}}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Do đó B đúng.

+ Xét $\dfrac{{63}}{{77}}$ thấy $77 = 7.11$ (chứa các thừa số $7;11$ khác $2;5$) nên phân số $\dfrac{{63}}{{77}}$ viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Do đó C sai.

+ Xét   $\dfrac{{93}}{{360}} = \dfrac{{31}}{{120}}$ có $120 = {2^3}.3.5$ (chứa thừa số $3$ khác $2;5$) nên phân số $\dfrac{{93}}{{360}}$viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Do đó D đúng.

Ta có: $\dfrac{{ - 6}}{{90}}$ = -0,06666…. = -0,0(6)

Vậy chu kì của số a là 6

Trước tiên, ta làm tròn số 75,681.

Ta thấy chữ số ở hàng làm tròn là chữ số 8 ở phần thập phân.

Chữ số ngay bên phải hàng làm tròn là 1 < 5 nên giữ nguyên chữ số hàng làm tròn và bỏ đi các chữ số ở sau hàng làm tròn.

Vậy làm tròn số 75,681 đến chữ số hàng phần trăm là 75,68 nên số làm tròn -75,681 đến chữ số hàng phần trăm được -75,68.

Ta có $0,35 = \dfrac{{35}}{{100}} = \dfrac{7}{{20}}$

Tổng tử số và mẫu số là $7 + 20 = 27.$

Làm tròn số 424, 267 với độ chính xác là 0,05, tức là làm tròn đến chữ số hàng phần mười.

Ta thấy chữ số ở hàng làm tròn là chữ số 2 ở phần thập phân

Chữ số ngay bên phải hàng làm tròn là 6 > 5 nên ta tăng chữ số hàng làm tròn thêm 1 đơn vị và bỏ đi các chữ số ở sau hàng làm tròn.

Vậy số 424,267 sau khi làm tròn với độ chính xác là 0,05 được 424,3

Ta thấy $\dfrac{{63}}{{30}} = \dfrac{{21}}{{10}}$

Ta có: 70 = 2.5.7;

25 = 5²

10 = 2 . 5

51 = 3 . 17

1250 = 2 . 5⁴

Như vậy, các số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn là: $\dfrac{{ - 3}}{{70}}; - 3\dfrac{7}{{51}}$ ( vì mẫu số có ước nguyên tố  khác 2 và 5)

Ta có $\dfrac{{11}}{{24}} = 11:24 = 0,458\left( 3 \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l} - 23,(2) + \dfrac{3}{7} + 13,(2) - \dfrac{{10}}{7}\\ = \left[ { - 23,(2) + 13,(2)} \right] + \left( {\dfrac{3}{7} - \dfrac{{10}}{7}} \right)\\ = ( - 10) + ( - 1)\\ =  - 11\end{array}$

+) Ta có: -22,(3) = -22,33….

Vì 22,34 > 22,33 nên -22,34 < -22,33

Do đó A sai

+) Ta có: 34,(1) = 34,111….

Vì 34,111… > 34,101 nên B sai

+) Ta có: $\dfrac{{43}}{{200}}$ = 0,215 < 0,217 hay 0,217 > $\dfrac{{43}}{{200}}$

Do đó, C đúng

+) Ta có: $\dfrac{{11}}{{20}} = \dfrac{{55}}{{100}} = 0,55$

0,(5) = 0,555…

Ta thấy 0,55 < 0,555… nên $\dfrac{{11}}{{20}}$< 0,(5)

Do đó, D sai

Ta có $1,4\left( {51} \right) = 1 + 0,4\left( {51} \right) = 1 + \dfrac{{451 - 4}}{{990}}$$= 1 + \dfrac{{447}}{{990}} = 1 + \dfrac{{149}}{{330}} = \dfrac{{479}}{{330}}$

Và $3,1\left( {45} \right) = 3 + 0,1\left( {45} \right) = 3 + \dfrac{{145 - 1}}{{990}}$$= 3 + \dfrac{{144}}{{990}} = 3 + \dfrac{8}{{55}} = \dfrac{{173}}{{55}}$

Tổng các tử số của hai phân số $\dfrac{{479}}{{330}};\,\dfrac{{173}}{{55}}$ là $479 + 173 = 652.$

$\begin{array}{l}\dfrac{{12}}{{40}} - 2x = 0,(1) + {[1,(24)]^0}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{10}} - 2x = \dfrac{1}{9} + 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{10}} - 2x = \dfrac{{10}}{9}\\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{3}{{10}} - \dfrac{{10}}{9}\\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{{27}}{{90}} - \dfrac{{100}}{{90}}\\ \Leftrightarrow 2x = \dfrac{{ - 73}}{{90}}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 73}}{{90}}:2\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 73}}{{90}}.\dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 73}}{{180}}\end{array}$

* Trường hợp 1:  Khi m đã tối giản

Khi đó m viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn nếu 2³ . a⁴  không có có ước nguyên tố nào khác 2 và 5.

Vì a nguyên và 0 < a < 36 nên ta tìm số các số nguyên lớn hơn 1 và nhỏ hơn 36 sao cho a chỉ có thể là số chỉ có ước nguyên tố là 2, hoặc chỉ có ước nguyên tố là 5, hoặc chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5.

Có thể xảy ra các khả năng sau:

+) a chỉ có ước nguyên tố là 2:  Có 5 số gồm 2; 2² ; 2³ ; 2⁴

+) a chỉ có ước nguyên tố là 5:  Có 2 số gồm: 5; 5²

+) a chỉ có 2 ước nguyên tố là 2 và 5: Có 2 số gồm 10, 20.

Do đó, số các số a thỏa mãn là: 5+2+2 = 9 ( số)

* Trường hợp 2: Khi m chưa tối giản

Vì m có tử số là 31 ( là số nguyên tố) nên m chưa tối giản khi mẫu có ước là 31.

Khi đó, phân số sau khi rút gọn vẫn còn ước nguyên tố là 31 nên không là số thập phân hữu hạn.

Vậy tìm được 10 số a thỏa mãn

Ta có $1,2\left( {31} \right) = 1 + 0,2\left( {31} \right)$ $= 1 + \dfrac{{231 - 2}}{{990}} = \dfrac{{1219}}{{990}}$ và $0,\left( {13} \right) = \dfrac{{13}}{{99}}$ ;

Lại có $2,\left( 4 \right) = 2 + 0,\left( 4 \right) = 2 + \dfrac{4}{9} = \dfrac{{22}}{9}$

Nên $A = \dfrac{4}{9} + 1,2(31) + 0,(13)$$= \dfrac{4}{9} + \dfrac{{1219}}{{990}} + \dfrac{{13}}{{99}} = \dfrac{{440 + 1219 + 130}}{{990}} = \dfrac{{1789}}{{990}}$

Và $B = 3\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{49}} - \left[ {2,\left( 4 \right).2\dfrac{5}{{11}}} \right]:\left( { - \dfrac{{42}}{5}} \right)$$= \dfrac{7}{2}.\dfrac{1}{{49}} - \left( {\dfrac{{22}}{9}.\dfrac{{27}}{{11}}} \right):\left( { - \dfrac{{42}}{5}} \right)$$= \dfrac{1}{{14}} + 6.\dfrac{5}{{42}} = \dfrac{{11}}{{14}}$

Nhận thấy $A = \dfrac{{1789}}{{990}} > \dfrac{{990}}{{990}} = 1$ và $B = \dfrac{{11}}{{14}} < \dfrac{{11}}{{11}} = 1$ nên $A > B.$

Số 0 được coi là một số thập phân hữu hạn nên A sai

Số hữu tỉ bao gồm các số thập phân vô hạn tuần hoàn và các số hữu tỉ nên B đúng, C sai

Số nguyên được coi là số thập phân hữu hạn nên D sai.

Ta có $0,\left( {26} \right) = \dfrac{{26}}{{99}}$ và $1,2\left( {31} \right) = 1 + 0,2\left( {31} \right) = 1 + \dfrac{{231 - 2}}{{990}} = \dfrac{{1219}}{{990}}$

Nên $0,(26).x = 1,2(31)$$\Rightarrow \dfrac{{26}}{{99}}x = \dfrac{{1219}}{{990}}$$\Rightarrow x = \dfrac{{1219}}{{990}}:\dfrac{{26}}{{99}}$$\Rightarrow x = \dfrac{{1219}}{{260}}$

Vậy $x = \dfrac{{1219}}{{260}}.$