Cho phân số m = \(\dfrac{{31}}{{{2^3}.{a^4}}}\) . Có bao nhiêu số nguyên dương a với 1 < a < 36 để phân số trên viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn?

* Trường hợp 1:  Khi m đã tối giản

Khi đó m viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn nếu 2³ . a⁴  không có có ước nguyên tố nào khác 2 và 5.

Vì a nguyên và 0 < a < 36 nên ta tìm số các số nguyên lớn hơn 1 và nhỏ hơn 36 sao cho a chỉ có thể là số chỉ có ước nguyên tố là 2, hoặc chỉ có ước nguyên tố là 5, hoặc chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5.

Có thể xảy ra các khả năng sau:

+) a chỉ có ước nguyên tố là 2:  Có 5 số gồm 2; 2² ; 2³ ; 2⁴

+) a chỉ có ước nguyên tố là 5:  Có 2 số gồm: 5; 5²

+) a chỉ có 2 ước nguyên tố là 2 và 5: Có 2 số gồm 10, 20.

Do đó, số các số a thỏa mãn là: 5+2+2 = 9 ( số)

* Trường hợp 2: Khi m chưa tối giản

Vì m có tử số là 31 ( là số nguyên tố) nên m chưa tối giản khi mẫu có ước là 31.

Khi đó, phân số sau khi rút gọn vẫn còn ước nguyên tố là 31 nên không là số thập phân hữu hạn.

Vậy tìm được 10 số a thỏa mãn