Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Trong tam giác đều, mỗi góc bằng ${60^0}.$

Nên A, B đúng.

Tam giác đều cũng là tam giác cân nhưng tam giác cân chưa chắc là tam giác đều vì nó chỉ có hai cạnh bên bằng nhau.

Vậy C sai.

Để hai tam giác cân bằng nhau thì  phải cần điều kiện là: Có một cặp góc ở đỉnh và cặp cạnh đáy bằng nhau.

Khi đó hai tam giác cân bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc.

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng ${45^0}.$

Do tam giác ABC cân nên $\widehat B = \widehat C$

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow \widehat C = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$ hay $\widehat A = {180^0} - 2\widehat C$

Do tam giác ABC cân nên $\widehat B = \widehat C$

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$ hay $\widehat A = {180^0} - 2\widehat C$

Do tam giác ABC cân nên $\widehat B = \widehat C$

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow \widehat C = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$ =$\frac{{{{180}^0} - {{54}^0}}}{2} = {63^0}$

Sử dụng cách tính số đo các góc trong tam giác $ABC$ cân tại $A.$

Góc ở đỉnh $\widehat A = {180^0} - 2\widehat C$ và góc ở đáy $\widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}.$

Áp dụng ta có  số đo góc ở đáy bằng: $\dfrac{{{{180}^0} - {{64}^0}}}{2} = {58^0}$

Giả sử xét trong tam giác ABC cân tại A.

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A \Leftrightarrow \widehat C = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$

Vì $180^\circ  - \widehat A < 180^\circ  \Rightarrow \frac{{180^\circ  - \widehat A}}{2} < \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$

Vậy góc ở đáy của một tam giác cân không thể là góc tù.

Tổng số đo hai góc ở đáy là $70^o.2 = 140^\circ$

Vì tổng ba góc của tam giác bằng $180^\circ$ nên số đo góc ở đỉnh tam giác cân này là

$180^\circ  - 140^\circ  = 40^\circ .$

Vì tam giác ABC cân tại B nên BA = BC

Mà H, K lần lượt là trung điểm của BA và BC nên BH = BK

Xét tam giác vuộng BHI và BKI có:

BI chung

BH = BK

$\Rightarrow BHI = \Delta BKI$ ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow$ IH = IK (hai cạnh tương ứng).

Từ hình vẽ ta có $AB = AE;BC = DE$

Vì $AB = AE \Rightarrow \Delta ABE$ cân tại $A.$

Suy ra $\widehat B = \widehat E$  (hai góc ở đáy)

Xét tam giác $ABC$ và $AED$ có: $AB = AE;\widehat B = \widehat E\left( {cmt} \right);BC = DE$ nên $\Delta ABC = \Delta AED\left( {c - g - c} \right)$

Do đó $AC = AD$ (hai cạnh tương ứng) suy ra $\Delta ACD$ cân tại $A.$

Vậy có hai tam giác cân trên hình vẽ.

Do tam giác ABC cân tại A nên $\widehat B = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \frac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}$

Ta thấy tam giác ADE cân do AD = AE

$\Rightarrow \widehat {ADE} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \frac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}$

Do đó $\widehat B = \widehat {ADE}$ .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên ED // BC ( Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)

Vậy D là đáp án sai.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (vì $AB = AC$ ) có $\widehat A = 40^\circ$ nên $\widehat B = \widehat {ACB} = \dfrac{{180^\circ  - 40^\circ }}{2} = 70^\circ$

Mà $\widehat {ACB}$ là góc ngoài của tam giác $ACD$ nên $\widehat {ACB} = \widehat {CAD} + \widehat {CDA}$

Lại có $\Delta CAD$ cân tại $C \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CDA} = x$ (tính chất)

Nên  $\widehat {ACB} = \widehat {CAD} + \widehat {CDA} = 2x \Rightarrow x = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}$$= \dfrac{{70^\circ }}{2} = 35^\circ .$

Vậy $x = 35^\circ .$

Ta có:

 $\begin{array}{l}\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\\\widehat {BAN} = \widehat {CAN} + \widehat {BAC} = {60^0} + {60^0} = {120^0}\end{array}$

$\Rightarrow$$\widehat {MAC} = \widehat {BAN}$ .

Xét hai tam giác ABN và AMC có:

AM = AB (do tam giác AMB đều)

$\widehat {MAC} = \widehat {BAN}$ (cmt)

AN = AC (do tam giác ANC đều)

Do đó $\Delta ABN = \Delta AMC(c.g.c)$

$\Rightarrow$BN = CM (hai cạnh tương ứng).

Do tam giác $ABC$  vuông cân ở $A$  nên $\widehat B = \widehat C = {45^0}$.

Xét tam giác $AMB$  có: $BM = BA(gt),$ nên tam giác $AMB$  cân ở $B.$

Do đó $\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2}$$= \dfrac{{{{180}^0} - {{45}^0}}}{2} = {67^0}30'$

Chứng minh tương tự ta được tam giác $ANC$  cân ở $C$ và $\widehat {ANC} = {67^0}30'$.

Xét tam giác $AMN$  có: $\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {67^0}30'$, do đó tam giác $AMN$ cân ở $A.$

Xét tam giác $AMN,$ ta có:

$\widehat {MAN} = {180^0} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)$$= {180^0} - {135^0} = {45^0}.$

Vậy $\widehat {MAN} = {45^0}.$

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD. Khi đó, 2. AM = AD

Xét tam giác ABM và DCM, có:

AM = DM

$\widehat {AMB} = \widehat {CMD}$ ( đối đỉnh)

BM = CM ( gt)

$\Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM$ ( c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {BCD}$ (2 góc tương ứng); AB = CD ( 2 cạnh tương ứng)

Mà 2 góc ABC và BCD ở vị trí so le trong

$\Rightarrow$AB // CD

Mà AB $\bot$ AC

$\Rightarrow$ CD  $\bot$ AC ( tính chất)

Xét tam giác vuông ABC và CDA có:

AC chung

$\widehat {BAC} = \widehat {DCA}( = 90^\circ )$

AB = CD( cmt)

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta CDA$ ( c.g.c)

$\Rightarrow$ AD = BC ( 2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ 2. AM = BC

$\Rightarrow$ AM = MB = MC

Do tam giác ABC cân nên $\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}$

Ta thấy tam giác $ADE$  cân do $AD = AE.$

$\Rightarrow \widehat {ADE} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{80}^0}}}{2} = {50^0}$

Do đó $\widehat B = \widehat {ADE}$ . Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ED//BC.$

Vậy D là đáp án sai.

Vì M nằm trên đường trung trực của AB nên MA = MB ( tính chất)

Vì N nằm trên đường trung trực của AB nên NA = NB ( tính chất)

Xét tam giác AOM và AON có:

OM = ON

$\widehat {AOM} = \widehat {AON}( = 90^\circ )$

AO chung

$\Rightarrow \Delta AOM = \Delta AON$ ( c.g.c)

$\Rightarrow$ AM = AN ( 2 cạnh tương ứng)

Mà MA = MB; NA = NB

$\Rightarrow$ MA = MB = NB = NA

$\Rightarrow$ Tứ giác AMBN là hình thoi ( Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)

Tam giác $ABC$ có $\widehat A = 90^\circ ;\,AB = AC$ nên tam giác $ABC$ vuông cân.

Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân nên cả A, B, C đều đúng.