Tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \(x(m)\), chiều dài của hình chữ nhật là \(y(m)\) \(\left( {0 < x < y} \right)\)

Tỉ số giữa hai cạnh của hình chữ nhật là \(\dfrac{5}{7}\) nên suy ra \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7}\)

Chu vi của hình chữ nhật bằng \(48m\) nên \(2(x + y) = 48 \Rightarrow x + y = 24\).

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{{x + y}}{{5 + 7}} = \dfrac{{24}}{{12}} = 2\)

Do đó \(\dfrac{x}{5} = 2 \Rightarrow x = 10\) và \(\dfrac{y}{7} = 2 \Rightarrow y = 14\)  

Hai giá trị \(x,y\) thỏa mãn \(0 < x < y\).

Diện tích hình chữ nhật là \(10.14 = 140\,\left( {{m^2}} \right)\).

Gọi các cạnh của tam giác là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo đề bài ta có \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3}\) và \(x + y + z = 120\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3} = \dfrac{{x + y + z}}{{4 + 5 + 3}} = \dfrac{{120}}{{12}} = 10\)

Do đó \(x = 4.10 = 40\,m\); \(y = 5.10 = 50m\); \(z = 3.10 = 30\,m\).

Cạnh lớn nhất của tam giác dài \(50\,m.\)

Gọi số học sinh nam là \(x\), số học sinh nữ là \(y\) \((x,y \in {\mathbb{N}^*};x > 26)\)

Lớp 7A có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 26 nên ta có: \(x - y = 26\)

Tỉ số giữa số học sinh nam và nữ là 3,6 nên \(\dfrac{x}{y} = 3,6 \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{36}}{{10}} \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{18}}{5} \Rightarrow \dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{5}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{x - y}}{{18 - 5}} = \dfrac{{26}}{{13}} = 2\)

Do đó

\(\dfrac{x}{{18}} = 2 \Rightarrow x = 2.18 = 36\)

\(\dfrac{y}{5} = 2 \Rightarrow y = 10\)

Hai giá trị \(x,y\) thỏa mãn \(x,y \in {\mathbb{N}^*};x > 26\).

Khi đó \(x + y = 36 + 10 = 46\)

Vậy số học sinh của lớp 7A là \(46\) học sinh.

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là \(x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)\)

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{7}\) và \(x + y + z = 108\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{{x + y + z}}{{5 + 6 + 7}} = \dfrac{{108}}{{18}} = 6\)

Do đó \(x = 6.5 = 30\,m\); \(y = 6.6 = 36\,m\); \(z = 6.7 = 42\,m\).

Các giá trị \(x;y;z\) thỏa mãn \(x;y;z > 0\).

Cạnh lớn nhất của tam giác dài \(42\,m.\)

Gọi số cây tổ \(1,2,3\) trồng được lần lượt là \(x;y;z\,\left( {x;y;z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Theo bài ra ta có: \(\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{{12}}\) và \(x + y + z = 108\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{{12}}\)\( = \dfrac{{x + y + z}}{{7 + 8 + 12}} = \dfrac{{108}}{{27}} = 4\)

Do đó:

\(x = 4.7 = 28\); \(y = 4.8 = 32\); \(z = 4.12 = 48\)

Các giá trị \(x;y;z\) thỏa mãn \(x;y;z \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy số cây tổ \(2\) trồng được là \(32\) cây.

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{a + b}}{{c + d}} = \dfrac{{a - b}}{{c - d}}\) nên A, C, D sai, B đúng.

Gọi các cạnh của tam giác là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo đề bài ta có \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3}\) và \(x + y + z = 120\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3} = \dfrac{{x + y + z}}{{4 + 5 + 3}} = \dfrac{{120}}{{12}} = 10\)

Do đó \(x = 4.10 = 40\,m\); \(y = 5.10 = 50m\); \(z = 3.10 = 30\,m\).

Hiệu của cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất của tam giác đó là: \(50-30=20 m\).

Điều kiện: \(x \ne 0\)

Từ \(\dfrac{{1 + 2y}}{{18}} = \dfrac{{1 + 4y}}{{24}} = \dfrac{{1 + 6y}}{{6x}}\) suy ra \(\dfrac{{1 + 2y}}{{18}} = \dfrac{{1 + 4y}}{{24}}\)

Khi đó \(24.(1 + 2y) = 18.(1 + 4y)\)

\( \Rightarrow 24 + 48y = 18 + 72y\)

\( \Rightarrow 72y - 48y = 24 - 18\)

\( \Rightarrow 24y = 6\)

\( \Rightarrow y = \dfrac{1}{4}\)

Với \(y = \dfrac{1}{4}\) thay vào \(\dfrac{{1 + 4y}}{{24}} = \dfrac{{1 + 6y}}{{6x}}\) ta được:

\(\dfrac{{1 + 4.\dfrac{1}{4}}}{{24}} = \dfrac{{1 + 6.\dfrac{1}{4}}}{{6x}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{2}{{24}} = \dfrac{{1 + \dfrac{3}{2}}}{{6x}}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}}}{{6x}}\) \( \Rightarrow 6x = 12.\dfrac{5}{2}\) \( \Rightarrow 6x = 30\) \( \Rightarrow x = 5\)

Vậy \(x = 5\) (thỏa mãn).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1\) (do \(a + b + c \ne 0\) )

Suy ra \(a = b;b = c;c = a \Rightarrow b = c = a = 2018\)

Vậy \(a - c = 2018 - 2018 = 0\).

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là \(x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)\)

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{7}\) và \(x + y + z = 108\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{{x + y + z}}{{5 + 6 + 7}} = \dfrac{{108}}{{18}} = 6\)

Do đó \(x = 6.5 = 30\,m\); \(y = 6.6 = 36\,m\); \(z = 6.7 = 42\,m\).

Các giá trị \(x;y;z\) thỏa mãn \(x;y;z > 0\).

Cạnh nhỏ nhất của tam giác dài \(30\,m.\)

Nửa chu vi hình chữ nhật là \(52:2 = 26\,m\)

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là \(x;y\left( {0 < x < y} \right)\)

Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{10} \Rightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{10}\) và \(x + y = 32\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{10} = \dfrac{{x + y}}{{3+10}} = \dfrac{{26}}{13} = 2\)

Do đó \(x = 3.2 = 6\) và \(y = 10.2 = 20\)

Diện tích hình chữ nhật là \(6.20 = 120\,\left( {{m^2}} \right)\)

Nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất, thứ hai và thứ ba của $(1)$ lần lượt với \( - 3; - 4;5\) ta được

\(\dfrac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{ - 6}} = \dfrac{{ - 4\left( {y + 3} \right)}}{{ - 16}} = \dfrac{{5\left( {z - 5} \right)}}{{30}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{ - 6}} = \dfrac{{ - 4\left( {y + 3} \right)}}{{ - 16}} = \dfrac{{5\left( {z - 5} \right)}}{{30}}\)\( = \dfrac{{ - 3\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y + 3} \right) + 5\left( {z - 5} \right)}}{{ - 6 - 16 + 5.6}}\) \( = \dfrac{{ - 3x + 3 - 4y - 12 + 5z - 25}}{8} = \dfrac{{\left( {5z - 3x - 4y} \right) - 34}}{8}\)

\( = \dfrac{{50 - 34}}{8} = \dfrac{{16}}{8} = 2\)

Do đó \(\dfrac{{x - 1}}{2} = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)

\(\dfrac{{y + 3}}{4} = 2 \Rightarrow y + 3 = 8 \Rightarrow y = 5\)

\(\dfrac{{z - 5}}{6} = 2 \Rightarrow z - 5 = 12 \Rightarrow z = 17\)

=> \(x = 5;y = 5;z = 17.\)

Vậy \(x+y+z=5+5+17=27\).

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{4} = \dfrac{{2(x - 1)}}{4} = \dfrac{{3(y - 2)}}{9}\)\( = \dfrac{{2(x - 1) + 3(y - 2) - (z - 3)}}{{4 + 9 - 4}}\)

\( = \dfrac{{2x - 2 + 3y - 6 - z + 3}}{9}\)\( = \dfrac{{2x + 3y - z - 5}}{9} = \dfrac{{50 - 5}}{9} = 5\)

Do đó

\(\dfrac{{x - 1}}{2} = 5 \Rightarrow x - 1 = 10 \Rightarrow x = 11\)

\(\dfrac{{y - 2}}{3} = 5 \Rightarrow y - 2 = 15 \Rightarrow y = 17\)

\(\dfrac{{z - 3}}{4} = 5 \Rightarrow z - 3 = 20 \Rightarrow z = 23\)

=> \(x = 11;\,y = 17;\,z = 23\)

Vậy \( x+y+z=11+17+23=51\).

Ta có \(2a = 3b \Rightarrow \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}}\,\left( 1 \right)\)  (nhân cả hai vế với \(\dfrac{1}{7}\))

Và \(5b = 7c \Rightarrow \dfrac{b}{7} = \dfrac{c}{5}\) \( \Rightarrow \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\,\left( 2 \right)\)  (nhân cả hai vế với \(\dfrac{1}{2}\))

Từ (1) và (2) ta có \(\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\)\( = \dfrac{{3a - 7b + 5c}}{{3.21 - 7.14 + 5.10}} = \dfrac{{30}}{{15}} = 2\)

Do đó \(\dfrac{a}{{21}} = 2 \Rightarrow a = 42\); $\dfrac{b}{{14}} = 2 \Rightarrow b = 28$ và \(\dfrac{c}{{10}} = 2 \Rightarrow c = 20\)

Khi đó \(a - b + c = 42 - 28 + 20 = 34.\)

Ta có \(2a = 3b \Rightarrow \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}}\,\left( 1 \right)\)  (nhân cả hai vế với \(\dfrac{1}{7}\))

Và \(5b = 7c \Rightarrow \dfrac{b}{7} = \dfrac{c}{5}\) \( \Rightarrow \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\,\left( 2 \right)\)  (nhân cả hai vế với \(\dfrac{1}{2}\))

Từ (1) và (2) ta có \(\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\)\( = \dfrac{{3a - 7b + 5c}}{{3.21 - 7.14 + 5.10}} = \dfrac{{30}}{{15}} = 2\)

Do đó \(\dfrac{a}{{21}} = 2 \Rightarrow a = 42\); $\dfrac{b}{{14}} = 2 \Rightarrow b = 28$ và \(\dfrac{c}{{10}} = 2 \Rightarrow c = 20\)

Khi đó \(a + b + c = 42 + 28 + 20 = 90.\)

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = k\) ta có \(x = 2k;\,y = 5k\)

Nên \(x.y = 2k.5k = 10{k^2} = 10 \Rightarrow {k^2} = 1\) \( \Rightarrow k = 1\) hoặc \(k =  - 1\).

Với \(k = 1\) thì \(x = 2;y = 5\)

Với \(k =  - 1\) thì \(x =  - 2;y =  - 5\)

Vì \(x > 0;y > 0\) nên \(x = 2;y = 5\) từ đó \(x + y = 2 + 5 = 7.\)

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = k\) ta có \(x = 2k;\,y = 5k\)

Nên \(x.y = 2k.5k = 10{k^2} = 10 \Rightarrow {k^2} = 1\) \( \Rightarrow k = 1\) hoặc \(k =  - 1\).

Với \(k = 1\) thì \(x = 2;y = 5\)

Với \(k =  - 1\) thì \(x =  - 2;y =  - 5\)

Vì \(x > 0;y > 0\) nên \(x = 2;y = 5\) từ đó \(y - x = 5 - 2 = 3.\)

Giả sử chia số \(48\) thành ba phần \(x,\,y,\,z,t\) tỉ lệ với các số \(3;5;7;9\)

Ta có \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{t}{9}\) và \(x + y + z + t = 48\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

\(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{t}{9} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{3 + 5 + 7 + 9}} = \dfrac{{48}}{{24}} = 2\)

Do đó \(\dfrac{x}{3} = 2 \Rightarrow x = 6\) ; \(\dfrac{y}{5} = 2 \Rightarrow y = 10;\)\(\dfrac{z}{7} = 2 \Rightarrow z = 14\); \(\dfrac{t}{9} = 2 \Rightarrow t = 18.\)

Vậy các số cần tìm sắp xếp theo thứ tự giảm dần là \(18; 14; 10; 6\).

Giả sử chia số \(120\) thành bốn phần \(x,y,z,t\) tỉ lệ với các số \(2;4;8;10\)

Khi đó ta có: \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{t}{{10}}\) và \(x + y + z + t = 120\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{t}{{10}} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{2 + 4 + 8 + 10}} = \dfrac{{120}}{{24}} = 5\)

Do đó

\(\dfrac{x}{2} = 5 \Rightarrow x = 5.2 = 10\);

\(\dfrac{y}{4} = 5 \Rightarrow y = 5.4 = 20\);

\(\dfrac{z}{8} = 5 \Rightarrow z = 5.8 = 40\);

\(\dfrac{t}{{10}} = 5 \Rightarrow t = 5.10 = 50\).

Vậy các số cần tìm sắp xếp theo thứ tự giảm dần là \(50; 40; 20; 10\).

Đặt \(\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{{12}} = k\) suy ra \(x = 11k;\,y = 12k\)

Do đó \(x.y = 11k.12k = 132{k^2}\)  

mà \(xy = 132\) nên \(132{k^2} = 132 \Rightarrow {k^2} = 1\)

\( \Rightarrow k = 1\) hoặc \(k =  - 1\).

Với \(k = 1\) thì \(x = 11;y = 12\)

Với \(k =  - 1\) thì \(x =  - 11;y =  - 12\)

Vì \(x > 0;y > 0\) nên \(x = 11;y = 12\) từ đó \(x + y = 11 + 12 = 23.\)