Tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là $x(m)$, chiều dài của hình chữ nhật là $y(m)$ $\left( {0 < x < y} \right)$

Tỉ số giữa hai cạnh của hình chữ nhật là $\dfrac{5}{7}$ nên suy ra $\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7}$

Chu vi của hình chữ nhật bằng $48m$ nên $2(x + y) = 48 \Rightarrow x + y = 24$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{{x + y}}{{5 + 7}} = \dfrac{{24}}{{12}} = 2$

Do đó $\dfrac{x}{5} = 2 \Rightarrow x = 10$ và $\dfrac{y}{7} = 2 \Rightarrow y = 14$  

Hai giá trị $x,y$ thỏa mãn $0 < x < y$.

Diện tích hình chữ nhật là $10.14 = 140\,\left( {{m^2}} \right)$.

Gọi các cạnh của tam giác là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo đề bài ta có $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3}$ và $x + y + z = 120$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3} = \dfrac{{x + y + z}}{{4 + 5 + 3}} = \dfrac{{120}}{{12}} = 10$

Do đó $x = 4.10 = 40\,m$; $y = 5.10 = 50m$; $z = 3.10 = 30\,m$.

Cạnh lớn nhất của tam giác dài $50\,m.$

Gọi số học sinh nam là $x$, số học sinh nữ là $y$ $(x,y \in {\mathbb{N}^*};x > 26)$

Lớp 7A có số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là 26 nên ta có: $x - y = 26$

Tỉ số giữa số học sinh nam và nữ là 3,6 nên $\dfrac{x}{y} = 3,6 \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{36}}{{10}} \Rightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{18}}{5} \Rightarrow \dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{5}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{{18}} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{x - y}}{{18 - 5}} = \dfrac{{26}}{{13}} = 2$

Do đó

$\dfrac{x}{{18}} = 2 \Rightarrow x = 2.18 = 36$

$\dfrac{y}{5} = 2 \Rightarrow y = 10$

Hai giá trị $x,y$ thỏa mãn $x,y \in {\mathbb{N}^*};x > 26$.

Khi đó $x + y = 36 + 10 = 46$

Vậy số học sinh của lớp 7A là $46$ học sinh.

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo đề bài ta có: $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{7}$ và $x + y + z = 108$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{{x + y + z}}{{5 + 6 + 7}} = \dfrac{{108}}{{18}} = 6$

Do đó $x = 6.5 = 30\,m$; $y = 6.6 = 36\,m$; $z = 6.7 = 42\,m$.

Các giá trị $x;y;z$ thỏa mãn $x;y;z > 0$.

Cạnh lớn nhất của tam giác dài $42\,m.$

Gọi số cây tổ $1,2,3$ trồng được lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Theo bài ra ta có: $\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{{12}}$ và $x + y + z = 108$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{7} = \dfrac{y}{8} = \dfrac{z}{{12}}$$= \dfrac{{x + y + z}}{{7 + 8 + 12}} = \dfrac{{108}}{{27}} = 4$

Do đó:

$x = 4.7 = 28$; $y = 4.8 = 32$; $z = 4.12 = 48$

Các giá trị $x;y;z$ thỏa mãn $x;y;z \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy số cây tổ $2$ trồng được là $32$ cây.

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{{a + b}}{{c + d}} = \dfrac{{a - b}}{{c - d}}$ nên A, C, D sai, B đúng.

Gọi các cạnh của tam giác là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo đề bài ta có $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3}$ và $x + y + z = 120$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có $\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{3} = \dfrac{{x + y + z}}{{4 + 5 + 3}} = \dfrac{{120}}{{12}} = 10$

Do đó $x = 4.10 = 40\,m$; $y = 5.10 = 50m$; $z = 3.10 = 30\,m$.

Hiệu của cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất của tam giác đó là: $50-30=20 m$.

Điều kiện: $x \ne 0$

Từ $\dfrac{{1 + 2y}}{{18}} = \dfrac{{1 + 4y}}{{24}} = \dfrac{{1 + 6y}}{{6x}}$ suy ra $\dfrac{{1 + 2y}}{{18}} = \dfrac{{1 + 4y}}{{24}}$

Khi đó $24.(1 + 2y) = 18.(1 + 4y)$

$\Rightarrow 24 + 48y = 18 + 72y$

$\Rightarrow 72y - 48y = 24 - 18$

$\Rightarrow 24y = 6$

$\Rightarrow y = \dfrac{1}{4}$

Với $y = \dfrac{1}{4}$ thay vào $\dfrac{{1 + 4y}}{{24}} = \dfrac{{1 + 6y}}{{6x}}$ ta được:

$\dfrac{{1 + 4.\dfrac{1}{4}}}{{24}} = \dfrac{{1 + 6.\dfrac{1}{4}}}{{6x}}$

$\Rightarrow \dfrac{2}{{24}} = \dfrac{{1 + \dfrac{3}{2}}}{{6x}}$ $\Rightarrow \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{{\dfrac{5}{2}}}{{6x}}$ $\Rightarrow 6x = 12.\dfrac{5}{2}$ $\Rightarrow 6x = 30$ $\Rightarrow x = 5$

Vậy $x = 5$ (thỏa mãn).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{c} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c + a}} = 1$ (do $a + b + c \ne 0$ )

Suy ra $a = b;b = c;c = a \Rightarrow b = c = a = 2018$

Vậy $a - c = 2018 - 2018 = 0$.

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Theo đề bài ta có: $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{7}$ và $x + y + z = 108$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{6} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{{x + y + z}}{{5 + 6 + 7}} = \dfrac{{108}}{{18}} = 6$

Do đó $x = 6.5 = 30\,m$; $y = 6.6 = 36\,m$; $z = 6.7 = 42\,m$.

Các giá trị $x;y;z$ thỏa mãn $x;y;z > 0$.

Cạnh nhỏ nhất của tam giác dài $30\,m.$

Nửa chu vi hình chữ nhật là $52:2 = 26\,m$

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là $x;y\left( {0 < x < y} \right)$

Ta có $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{10} \Rightarrow \dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{10}$ và $x + y = 32$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{10} = \dfrac{{x + y}}{{3+10}} = \dfrac{{26}}{13} = 2$

Do đó $x = 3.2 = 6$ và $y = 10.2 = 20$

Diện tích hình chữ nhật là $6.20 = 120\,\left( {{m^2}} \right)$

Nhân cả tử và mẫu của tỉ số thứ nhất, thứ hai và thứ ba của $(1)$ lần lượt với $- 3; - 4;5$ ta được

$\dfrac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{ - 6}} = \dfrac{{ - 4\left( {y + 3} \right)}}{{ - 16}} = \dfrac{{5\left( {z - 5} \right)}}{{30}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{{ - 3\left( {x - 1} \right)}}{{ - 6}} = \dfrac{{ - 4\left( {y + 3} \right)}}{{ - 16}} = \dfrac{{5\left( {z - 5} \right)}}{{30}}$$= \dfrac{{ - 3\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y + 3} \right) + 5\left( {z - 5} \right)}}{{ - 6 - 16 + 5.6}}$ $= \dfrac{{ - 3x + 3 - 4y - 12 + 5z - 25}}{8} = \dfrac{{\left( {5z - 3x - 4y} \right) - 34}}{8}$

$= \dfrac{{50 - 34}}{8} = \dfrac{{16}}{8} = 2$

Do đó $\dfrac{{x - 1}}{2} = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5$

$\dfrac{{y + 3}}{4} = 2 \Rightarrow y + 3 = 8 \Rightarrow y = 5$

$\dfrac{{z - 5}}{6} = 2 \Rightarrow z - 5 = 12 \Rightarrow z = 17$

=> $x = 5;y = 5;z = 17.$

Vậy $x+y+z=5+5+17=27$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{4} = \dfrac{{2(x - 1)}}{4} = \dfrac{{3(y - 2)}}{9}$$= \dfrac{{2(x - 1) + 3(y - 2) - (z - 3)}}{{4 + 9 - 4}}$

$= \dfrac{{2x - 2 + 3y - 6 - z + 3}}{9}$$= \dfrac{{2x + 3y - z - 5}}{9} = \dfrac{{50 - 5}}{9} = 5$

Do đó

$\dfrac{{x - 1}}{2} = 5 \Rightarrow x - 1 = 10 \Rightarrow x = 11$

$\dfrac{{y - 2}}{3} = 5 \Rightarrow y - 2 = 15 \Rightarrow y = 17$

$\dfrac{{z - 3}}{4} = 5 \Rightarrow z - 3 = 20 \Rightarrow z = 23$

=> $x = 11;\,y = 17;\,z = 23$

Vậy $x+y+z=11+17+23=51$.

Ta có $2a = 3b \Rightarrow \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}}\,\left( 1 \right)$  (nhân cả hai vế với $\dfrac{1}{7}$)

Và $5b = 7c \Rightarrow \dfrac{b}{7} = \dfrac{c}{5}$ $\Rightarrow \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\,\left( 2 \right)$  (nhân cả hai vế với $\dfrac{1}{2}$)

Từ (1) và (2) ta có $\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

$\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}$$= \dfrac{{3a - 7b + 5c}}{{3.21 - 7.14 + 5.10}} = \dfrac{{30}}{{15}} = 2$

Do đó $\dfrac{a}{{21}} = 2 \Rightarrow a = 42$; $\dfrac{b}{{14}} = 2 \Rightarrow b = 28$ và $\dfrac{c}{{10}} = 2 \Rightarrow c = 20$

Khi đó $a - b + c = 42 - 28 + 20 = 34.$

Ta có $2a = 3b \Rightarrow \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{2} \Rightarrow \dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}}\,\left( 1 \right)$  (nhân cả hai vế với $\dfrac{1}{7}$)

Và $5b = 7c \Rightarrow \dfrac{b}{7} = \dfrac{c}{5}$ $\Rightarrow \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}\,\left( 2 \right)$  (nhân cả hai vế với $\dfrac{1}{2}$)

Từ (1) và (2) ta có $\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{a}{{21}} = \dfrac{b}{{14}} = \dfrac{c}{{10}}$$= \dfrac{{3a - 7b + 5c}}{{3.21 - 7.14 + 5.10}} = \dfrac{{30}}{{15}} = 2$

Do đó $\dfrac{a}{{21}} = 2 \Rightarrow a = 42$; $\dfrac{b}{{14}} = 2 \Rightarrow b = 28$ và $\dfrac{c}{{10}} = 2 \Rightarrow c = 20$

Khi đó $a + b + c = 42 + 28 + 20 = 90.$

Đặt $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = k$ ta có $x = 2k;\,y = 5k$

Nên $x.y = 2k.5k = 10{k^2} = 10 \Rightarrow {k^2} = 1$ $\Rightarrow k = 1$ hoặc $k =  - 1$.

Với $k = 1$ thì $x = 2;y = 5$

Với $k =  - 1$ thì $x =  - 2;y =  - 5$

Vì $x > 0;y > 0$ nên $x = 2;y = 5$ từ đó $x + y = 2 + 5 = 7.$

Đặt $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = k$ ta có $x = 2k;\,y = 5k$

Nên $x.y = 2k.5k = 10{k^2} = 10 \Rightarrow {k^2} = 1$ $\Rightarrow k = 1$ hoặc $k =  - 1$.

Với $k = 1$ thì $x = 2;y = 5$

Với $k =  - 1$ thì $x =  - 2;y =  - 5$

Vì $x > 0;y > 0$ nên $x = 2;y = 5$ từ đó $y - x = 5 - 2 = 3.$

Giả sử chia số $48$ thành ba phần $x,\,y,\,z,t$ tỉ lệ với các số $3;5;7;9$

Ta có $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{t}{9}$ và $x + y + z + t = 48$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được

$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = \dfrac{t}{9} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{3 + 5 + 7 + 9}} = \dfrac{{48}}{{24}} = 2$

Do đó $\dfrac{x}{3} = 2 \Rightarrow x = 6$ ; $\dfrac{y}{5} = 2 \Rightarrow y = 10;$$\dfrac{z}{7} = 2 \Rightarrow z = 14$; $\dfrac{t}{9} = 2 \Rightarrow t = 18.$

Vậy các số cần tìm sắp xếp theo thứ tự giảm dần là $18; 14; 10; 6$.

Giả sử chia số $120$ thành bốn phần $x,y,z,t$ tỉ lệ với các số $2;4;8;10$

Khi đó ta có: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{t}{{10}}$ và $x + y + z + t = 120$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{t}{{10}} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{2 + 4 + 8 + 10}} = \dfrac{{120}}{{24}} = 5$

Do đó

$\dfrac{x}{2} = 5 \Rightarrow x = 5.2 = 10$;

$\dfrac{y}{4} = 5 \Rightarrow y = 5.4 = 20$;

$\dfrac{z}{8} = 5 \Rightarrow z = 5.8 = 40$;

$\dfrac{t}{{10}} = 5 \Rightarrow t = 5.10 = 50$.

Vậy các số cần tìm sắp xếp theo thứ tự giảm dần là $50; 40; 20; 10$.

Đặt $\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{{12}} = k$ suy ra $x = 11k;\,y = 12k$

Do đó $x.y = 11k.12k = 132{k^2}$  

mà $xy = 132$ nên $132{k^2} = 132 \Rightarrow {k^2} = 1$

$\Rightarrow k = 1$ hoặc $k =  - 1$.

Với $k = 1$ thì $x = 11;y = 12$

Với $k =  - 1$ thì $x =  - 11;y =  - 12$

Vì $x > 0;y > 0$ nên $x = 11;y = 12$ từ đó $x + y = 11 + 12 = 23.$