Nghiệm của đa thức một biến

$f\left( 2 \right) = {2.2^2} + 5.2 + 2 = 20 \ne 0$ $\Rightarrow x = 2$ không là nghiệm của $f\left( x \right).$

$f\left( 1 \right) = {2.1^2} + 5.1 + 2 = 9 \ne 0$ $\Rightarrow x = 1$  không là nghiệm của $f\left( x \right).$

$f\left( { - 1} \right) = 2.{( - 1)^2} + 5.( - 1) + 2 =  - 1 \ne 0$ $\Rightarrow x =  - 1$ không là nghiệm của $f\left( x \right).$

$f\left( { - 2} \right) = 2.{( - 2)^2} + 5.( - 2) + 2 = 0$$\Rightarrow x =  - 2$ là nghiệm của $f\left( x \right).$

$P(0) = {3.0^2} - 10.0 + 7 = 7 \ne 0 \Rightarrow x = 0$ không là nghiệm của $P\left( x \right).$

$P( - 1) = 3.{( - 1)^2} - 10.( - 1) + 7 = 20 \ne 0 \Rightarrow x =  - 1$ không là nghiệm của $P\left( x \right).$

$P(1) = {3.1^2} - 10.1 + 7 = 0 \Rightarrow x = 1$ là nghiệm của $P\left( x \right).$

$P\left( { - \dfrac{7}{3}} \right) = 3.{\left( { - \dfrac{7}{3}} \right)^2} - 10.\left( { - \dfrac{7}{3}} \right) + 7 = \dfrac{{140}}{3} \ne 0 \Rightarrow x =  - \dfrac{7}{3}$ không là nghiệm của $P\left( x \right).$

Vậy $x = 1$ là nghiệm của $P\left( x \right).$

$f(x) = 0 \Rightarrow (2x - 16)(x + 6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 16 = 0\\x + 6 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 16\\x =  - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\x =  - 6\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ là $\left\{ {8;-6} \right\}.$

Ta có: $f(x) = {x^2} - 10x + 9 = {x^2} - x - 9x + 9$

$= ({x^2} - x) - (9x - 9) = x(x - 1) - 9(x - 1) = (x - 1)(x - 9)$

Khi đó $f(x) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 9) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 9\end{array} \right.$

Vậy nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ là $1$ và $9.$

Ta có: $2{x^2} - 18 = 0 \Rightarrow 2{x^2} = 18 \Rightarrow {x^2} = 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 3\end{array} \right.$

Vậy $x = 3;x =  - 3$ là nghiệm của đa thức $2{x^2} - 18$.

Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức $2{x^2} - 18$ là $3 - ( - 3) = 6$.

Ta có: ${x^3} - 64 = 0$$\Rightarrow {x^3} = 64 \Rightarrow {x^3} = {4^3}$ $\Rightarrow x = 4.$

Vậy đa thức đã cho có một nghiệm là $x = 4$.

Ta có: $6{x^3} - 18{x^2} = 0 \Rightarrow 6{x^2}\left( {x - 3} \right) = 0$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}6{x^2} = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\x = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.$

Vậy đa thức $6{x^3} - 18{x^2}$ có hai nghiệm là $x = 0$ ; $x = 3.$

Tích các nghiệm của đa thức $6{x^3} - 18{x^2}$ là $0.3 = 0$

+ Với $a + b + c + d = 0$, thay $x = 1$ vào $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ ta được: $f\left( 1 \right) = a{.1^3} + b{.1^2} + c.1 + d = a + b + c + d \Rightarrow f\left( 1 \right) = 0$.

Vậy $x = 1$ là một nghiệm của đa thức $f\left( x \right).$

+ Với $a - b + c - d = 0$, thay $x =  - 1$ vào $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ ta được: $f\left( { - 1} \right) = a.{\left( { - 1} \right)^3} + b.{\left( { - 1} \right)^2} + c.( - 1) + d =  - a + b - c + d =  - (a - b + c - d) \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = 0$.

Vậy $x =  - 1$ là một nghiệm của đa thức $f\left( x \right).$

Vậy cả A, B đều đúng.

Để $Q\left( x \right)$ nhận $1$ là nghiệm thì $Q(1) = 0$$\Rightarrow a{.1^2} - 2.1 - 3 = 0 \Rightarrow a - 5 = 0 \Rightarrow a = 5$.

Vậy để $Q\left( x \right)$ nhận $1$ là nghiệm thì $a = 5$.

Ta có: $f(x) = 2{x^2} - 2x + 3 = {x^2} + {x^2} - x - x + 1 + 2$

$= {x^2} + ({x^2} - x) - (x - 1) + 2 = {x^2} + x(x - 1) - (x - 1) + 2$

$= {x^2} + (x - 1)(x - 1) + 2 = {x^2} + {(x - 1)^2} + 2$

Với mọi $x$ ta có: ${x^2} \ge 0;{(x - 1)^2} \ge 0$

Mặt khác: $2 > 0$ nên ${x^2} + {(x - 1)^2} + 2 > 0$ với mọi $x$ hay $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x$.

Do đó $f\left( x \right)$ không có nghiệm.

Ta có: $xf\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)f\left( x \right)$ với mọi $x$.                        

+ Khi $x = 0$ ta có: $0.f\left( {0 + 1} \right) = \left( {0 + 3} \right).f\left( 0 \right) \Rightarrow 0.f(1) = 3.f(0) \Rightarrow f(0) = 0$

Vậy $x = 0$ là một nghiệm của $f\left( x \right).$

+ Khi $x + 3 = 0$ hay $x = -3$ ta có: $( - 3).f\left( { - 3 + 1} \right) = \left( { - 3 + 3} \right).f\left( { - 3} \right) \Rightarrow ( - 3).f( - 2) = 0.f( - 3) \Rightarrow f( - 2) = 0$

Vậy $x = -2$ là một nghiệm của $f\left( x \right).$

Vậy $f\left( x \right)$ có ít nhất $2$ nghiệm là $0$ và $-2.$

Ta có: $P(x) = 0 \Rightarrow 3{\left( {2x + 5} \right)^2} - 48 = 0$$\Rightarrow {(2x + 5)^2} = 16 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = 4\\2x + 5 =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x =  - 1\\2x =  - 9\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{2}\\x =  - \dfrac{9}{2}\end{array} \right.$

Vậy đa thức $P\left( x \right)$ có hai nghiệm là: $x =  - \dfrac{1}{2};x =  - \dfrac{9}{2}.$

Theo câu trước ta có: $h\left( x \right) = 3x - 12$.

Khi đó $h\left( x \right) = 0 \Rightarrow 3x - 12 = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$

Vậy nghiệm của $h\left( x \right)$ là $x = 4.$

Theo câu trước ta có: $f\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10$; $g\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2$

Khi đó $h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = (2{x^3} - 4{x^2} - x - 10) - (2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2)$

$= 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10 - 2{x^3} + 4{x^2} + 4x - 2$

$\begin{array}{l} = (2{x^3} - 2{x^3}) + ( - 4{x^2} + 4{x^2}) + ( - x + 4x) + ( - 10 - 2)\\ = 3x - 12\end{array}$.

Ta có: $f\left( x \right) = 2{x^2}\left( {x - 1} \right) - 5\left( {x + 2} \right) - 2x\left( {x - 2} \right)$

                    $\begin{array}{l} = (2{x^3} - 2{x^2}) - (5x + 10) - (2{x^2} - 4x)\\ = 2{x^3} - 2{x^2} - 5x - 10 - 2{x^2} + 4x\\ = 2{x^3} + ( - 2{x^2} - 2{x^2}) + ( - 5x + 4x) - 10\\ = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10\end{array}$

$g\left( x \right) = {x^2}\left( {2x - 3} \right) - x\left( {x + 1} \right) - \left( {3x - 2} \right)$

         $\begin{array}{l} = (2{x^3} - 3{x^2}) - ({x^2} + x) - (3x - 2)\\ = 2{x^3} - 3{x^2} - {x^2} - x - 3x + 2 = 2{x^3} + ( - 3{x^2} - {x^2}) + ( - x - 3x) + 2\\ = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2\end{array}$

Sắp xếp $f\left( x \right);g\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:

 $f\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10$; $g\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2$.

Ta có: $f\left( x \right) = 2{x^2}\left( {x - 1} \right) - 5\left( {x + 2} \right) - 2x\left( {x - 2} \right)$

                    $\begin{array}{l} = (2{x^3} - 2{x^2}) - (5x + 10) - (2{x^2} - 4x)\\ = 2{x^3} - 2{x^2} - 5x - 10 - 2{x^2} + 4x\\ = 2{x^3} + ( - 2{x^2} - 2{x^2}) + ( - 5x + 4x) - 10\\ = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10\end{array}$

$g\left( x \right) = {x^2}\left( {2x - 3} \right) - x\left( {x + 1} \right) - \left( {3x - 2} \right)$

         $\begin{array}{l} = (2{x^3} - 3{x^2}) - ({x^2} + x) - (3x - 2)\\ = 2{x^3} - 3{x^2} - {x^2} - x - 3x + 2 = 2{x^3} + ( - 3{x^2} - {x^2}) + ( - x - 3x) + 2\\ = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2\end{array}$

Sắp xếp $f\left( x \right);g\left( x \right)$ theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:

 $f\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10$; $g\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2$.

$f( - 9) = 2{( - 9)^2} + \,12.( - 9) + 10\,\, = 64 \ne 0 \Rightarrow x =  - 9$ không là nghiệm của  $f\left( x \right).$$f(1) = {2.1^2} + \,12.1 + 10\,\, = 24 \ne 0 \Rightarrow x =  - 1$ không là nghiệm của $f\left( x \right).$

$f( - 1) = 2.{( - 1)^2} + \,12.( - 1) + 10\,\, = 0 \Rightarrow x =  - 1$ là nghiệm của $f\left( x \right).$

$f( - 4) = 2{( - 4)^2} + \,12.( - 4) + 10\,\, =  - 6 \ne 0 \Rightarrow x =  - 4$ không là nghiệm của $f\left( x \right).$

$P(0) = {0^2} + \,1.0 - 2\,\, =  - 2 \ne 0$$\Rightarrow x = 0$ không là nghiệm của $P\left( x \right).$

$P( - 1) = {( - 1)^2} + \,1.( - 1) - 2\,\, =  - 2 \ne 0$$\Rightarrow x =  - 1$ không là nghiệm của $P\left( x \right).$

$P(1) = {1^2} + \,1.1 - 2\,\, = 0$$\Rightarrow x = 1$ là nghiệm của $P\left( x \right).$

$P(2) = {2^2} + \,1.2 - 2\,\, = 4 \ne 0$$\Rightarrow x = 2$ không là nghiệm của $P\left( x \right).$

$P( - 2) = {( - 2)^2} + \,1.( - 2) - 2\,\, = 0$$\Rightarrow x =  - 2$  là nghiệm của $P\left( x \right).$

Vậy $x = 1;x =  - 2$ là nghiệm của $P\left( x \right).$

Ta có ${x^3} + 27 = 0$$\Rightarrow {x^3} =  - 27 \Rightarrow {x^3} = {\left( { - 3} \right)^3}$$\Rightarrow x =  - 3.$

Vậy đa thức đã cho có một nghiệm $x =  - 3.$

$f(x) = 0 \Rightarrow (x + 14)(x - 4) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 14 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 14\\x = 4\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ là $\left\{ {4;-14} \right\}.$