Cho đa thức sau: \(f(x) = 2{x^2} + \,5x + 2\). Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho:
\(f\left( 2 \right) = {2.2^2} + 5.2 + 2 = 20 \ne 0\) \( \Rightarrow x = 2\) không là nghiệm của \(f\left( x \right).\)
\(f\left( 1 \right) = {2.1^2} + 5.1 + 2 = 9 \ne 0\) \( \Rightarrow x = 1\) không là nghiệm của \(f\left( x \right).\)
\(f\left( { - 1} \right) = 2.{( - 1)^2} + 5.( - 1) + 2 = - 1 \ne 0\) \( \Rightarrow x = - 1\) không là nghiệm của \(f\left( x \right).\)
\(f\left( { - 2} \right) = 2.{( - 2)^2} + 5.( - 2) + 2 = 0\)\( \Rightarrow x = - 2\) là nghiệm của \(f\left( x \right).\)
Cho các giá trị của \(x\) là \(0; - 1;1; - \dfrac{7}{3}\). Giá trị nào của \(x\) là nghiệm của đa thức \(P(x) = 3{x^2} - 10x + 7\)?
\(P(0) = {3.0^2} - 10.0 + 7 = 7 \ne 0 \Rightarrow x = 0\) không là nghiệm của \(P\left( x \right).\)
\(P( - 1) = 3.{( - 1)^2} - 10.( - 1) + 7 = 20 \ne 0 \Rightarrow x = - 1\) không là nghiệm của \(P\left( x \right).\)
\(P(1) = {3.1^2} - 10.1 + 7 = 0 \Rightarrow x = 1\) là nghiệm của \(P\left( x \right).\)
\(P\left( { - \dfrac{7}{3}} \right) = 3.{\left( { - \dfrac{7}{3}} \right)^2} - 10.\left( { - \dfrac{7}{3}} \right) + 7 = \dfrac{{140}}{3} \ne 0 \Rightarrow x = - \dfrac{7}{3}\) không là nghiệm của \(P\left( x \right).\)
Vậy \(x = 1\) là nghiệm của \(P\left( x \right).\)
Tập nghiệm của đa thức \(f(x) = (2x - 16)(x + 6)\) là:
\(f(x) = 0 \Rightarrow (2x - 16)(x + 6) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 16 = 0\\x + 6 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 16\\x = - 6\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = - 6\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\) là \(\left\{ {8;-6} \right\}.\)
Cho đa thức sau: \(f(x) = {x^2} - 10x + 9\). Các nghiệm của đa thức đã cho là:
Ta có: \(f(x) = {x^2} - 10x + 9 = {x^2} - x - 9x + 9\)
\( = ({x^2} - x) - (9x - 9) = x(x - 1) - 9(x - 1) = (x - 1)(x - 9)\)
Khi đó \(f(x) = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 9) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 9\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\) là \(1\) và \(9.\)
Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức \(2{x^2} - 18\) là:
Ta có: \(2{x^2} - 18 = 0 \Rightarrow 2{x^2} = 18 \Rightarrow {x^2} = 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 3\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 3;x = - 3\) là nghiệm của đa thức \(2{x^2} - 18\).
Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức \(2{x^2} - 18\) là \(3 - ( - 3) = 6\).
Số nghiệm của đa thức \({x^3} - 64\) là:
Ta có: \({x^3} - 64 = 0\)\( \Rightarrow {x^3} = 64 \Rightarrow {x^3} = {4^3}\) \( \Rightarrow x = 4.\)
Vậy đa thức đã cho có một nghiệm là \(x = 4\).
Tích các nghiệm của đa thức \(6{x^3} - 18{x^2}\) là:
Ta có: \(6{x^3} - 18{x^2} = 0 \Rightarrow 6{x^2}\left( {x - 3} \right) = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}6{x^2} = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\x = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\)
Vậy đa thức \(6{x^3} - 18{x^2}\) có hai nghiệm là \(x = 0\) ; \(x = 3.\)
Tích các nghiệm của đa thức \(6{x^3} - 18{x^2}\) là \(0.3 = 0\)
Cho đa thức \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d.\) Chọn câu đúng?
+ Với \(a + b + c + d = 0\), thay \(x = 1\) vào \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) ta được: \(f\left( 1 \right) = a{.1^3} + b{.1^2} + c.1 + d = a + b + c + d \Rightarrow f\left( 1 \right) = 0\).
Vậy \(x = 1\) là một nghiệm của đa thức \(f\left( x \right).\)
+ Với \(a - b + c - d = 0\), thay \(x = - 1\) vào \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) ta được: \(f\left( { - 1} \right) = a.{\left( { - 1} \right)^3} + b.{\left( { - 1} \right)^2} + c.( - 1) + d = - a + b - c + d = - (a - b + c - d) \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = 0\).
Vậy \(x = - 1\) là một nghiệm của đa thức \(f\left( x \right).\)
Vậy cả A, B đều đúng.
Cho \(Q(x) = a{x^2} - 2x - 3\). Tìm \(a\) để \(Q\left(x \right)\) nhận \(1\) là nghiệm.
Để \(Q\left( x \right)\) nhận \(1\) là nghiệm thì \(Q(1) = 0\)\( \Rightarrow a{.1^2} - 2.1 - 3 = 0 \Rightarrow a - 5 = 0 \Rightarrow a = 5\).
Vậy để \(Q\left( x \right)\) nhận \(1\) là nghiệm thì \(a = 5\).
Đa thức \(f(x) = 2{x^2} - 2x + 3\) có bao nhiêu nghiệm?
Ta có: \(f(x) = 2{x^2} - 2x + 3 = {x^2} + {x^2} - x - x + 1 + 2\)
\( = {x^2} + ({x^2} - x) - (x - 1) + 2 = {x^2} + x(x - 1) - (x - 1) + 2\)
\( = {x^2} + (x - 1)(x - 1) + 2 = {x^2} + {(x - 1)^2} + 2\)
Với mọi \(x\) ta có: \({x^2} \ge 0;{(x - 1)^2} \ge 0\)
Mặt khác: \(2 > 0\) nên \({x^2} + {(x - 1)^2} + 2 > 0\) với mọi \(x\) hay \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x\).
Do đó \(f\left( x \right)\) không có nghiệm.
Biết \(xf\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)f\left( x \right)\). Khi đó đa thức\(f\left( x \right)\) có ít nhất là bao nhiêu nghiệm?
Ta có: \(xf\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 3} \right)f\left( x \right)\) với mọi \(x\).
+ Khi \(x = 0\) ta có: \(0.f\left( {0 + 1} \right) = \left( {0 + 3} \right).f\left( 0 \right) \Rightarrow 0.f(1) = 3.f(0) \Rightarrow f(0) = 0\)
Vậy \(x = 0\) là một nghiệm của \(f\left( x \right).\)
+ Khi \(x + 3 = 0\) hay \(x = -3\) ta có: \(( - 3).f\left( { - 3 + 1} \right) = \left( { - 3 + 3} \right).f\left( { - 3} \right) \Rightarrow ( - 3).f( - 2) = 0.f( - 3) \Rightarrow f( - 2) = 0\)
Vậy \(x = -2\) là một nghiệm của \(f\left( x \right).\)
Vậy \(f\left( x \right)\) có ít nhất \(2\) nghiệm là \(0\) và \(-2.\)
Nghiệm của đa thức \(P(x) = 3{\left( {2x + 5} \right)^2} - 48\) là:
Ta có: \(P(x) = 0 \Rightarrow 3{\left( {2x + 5} \right)^2} - 48 = 0\)\( \Rightarrow {(2x + 5)^2} = 16 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = 4\\2x + 5 = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - 1\\2x = - 9\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2}\\x = - \dfrac{9}{2}\end{array} \right.\)
Vậy đa thức \(P\left( x \right)\) có hai nghiệm là: \(x = - \dfrac{1}{2};x = - \dfrac{9}{2}.\)
Tìm nghiệm của \(h(x)\) biết \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\).
Theo câu trước ta có: \(h\left( x \right) = 3x - 12\).
Khi đó \(h\left( x \right) = 0 \Rightarrow 3x - 12 = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4\)
Vậy nghiệm của \(h\left( x \right)\) là \(x = 4.\)
Tính \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)\).
Theo câu trước ta có: \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10\); \(g\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2\)
Khi đó \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = (2{x^3} - 4{x^2} - x - 10) - (2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2)\)
\( = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10 - 2{x^3} + 4{x^2} + 4x - 2\)
\(\begin{array}{l} = (2{x^3} - 2{x^3}) + ( - 4{x^2} + 4{x^2}) + ( - x + 4x) + ( - 10 - 2)\\ = 3x - 12\end{array}\).
Thu gọn và sắp xếp \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
Ta có: \(f\left( x \right) = 2{x^2}\left( {x - 1} \right) - 5\left( {x + 2} \right) - 2x\left( {x - 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} = (2{x^3} - 2{x^2}) - (5x + 10) - (2{x^2} - 4x)\\ = 2{x^3} - 2{x^2} - 5x - 10 - 2{x^2} + 4x\\ = 2{x^3} + ( - 2{x^2} - 2{x^2}) + ( - 5x + 4x) - 10\\ = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10\end{array}\)
\(g\left( x \right) = {x^2}\left( {2x - 3} \right) - x\left( {x + 1} \right) - \left( {3x - 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} = (2{x^3} - 3{x^2}) - ({x^2} + x) - (3x - 2)\\ = 2{x^3} - 3{x^2} - {x^2} - x - 3x + 2 = 2{x^3} + ( - 3{x^2} - {x^2}) + ( - x - 3x) + 2\\ = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2\end{array}\)
Sắp xếp \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:
\(f\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10\); \(g\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2\).
Thu gọn và sắp xếp \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
Ta có: \(f\left( x \right) = 2{x^2}\left( {x - 1} \right) - 5\left( {x + 2} \right) - 2x\left( {x - 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} = (2{x^3} - 2{x^2}) - (5x + 10) - (2{x^2} - 4x)\\ = 2{x^3} - 2{x^2} - 5x - 10 - 2{x^2} + 4x\\ = 2{x^3} + ( - 2{x^2} - 2{x^2}) + ( - 5x + 4x) - 10\\ = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10\end{array}\)
\(g\left( x \right) = {x^2}\left( {2x - 3} \right) - x\left( {x + 1} \right) - \left( {3x - 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} = (2{x^3} - 3{x^2}) - ({x^2} + x) - (3x - 2)\\ = 2{x^3} - 3{x^2} - {x^2} - x - 3x + 2 = 2{x^3} + ( - 3{x^2} - {x^2}) + ( - x - 3x) + 2\\ = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2\end{array}\)
Sắp xếp \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:
\(f\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - x - 10\); \(g\left( x \right) = 2{x^3} - 4{x^2} - 4x + 2\).
Cho đa thức sau : \(f(x) = 2{x^2} + \,12x + 10\). Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho:
\(f( - 9) = 2{( - 9)^2} + \,12.( - 9) + 10\,\, = 64 \ne 0 \Rightarrow x = - 9\) không là nghiệm của $f\left( x \right).$\(f(1) = {2.1^2} + \,12.1 + 10\,\, = 24 \ne 0 \Rightarrow x = - 1\) không là nghiệm của $f\left( x \right).$
\(f( - 1) = 2.{( - 1)^2} + \,12.( - 1) + 10\,\, = 0 \Rightarrow x = - 1\) là nghiệm của $f\left( x \right).$
\(f( - 4) = 2{( - 4)^2} + \,12.( - 4) + 10\,\, = - 6 \ne 0 \Rightarrow x = - 4\) không là nghiệm của $f\left( x \right).$
Cho các giá trị của $x$ là \(0; - 1;1;2; - 2\). Giá trị nào của x là nghiệm của đã thức \(P(x) = {x^2} + x - 2\)?
\(P(0) = {0^2} + \,1.0 - 2\,\, = - 2 \ne 0 \)\(\Rightarrow x = 0\) không là nghiệm của $P\left( x \right).$
\(P( - 1) = {( - 1)^2} + \,1.( - 1) - 2\,\, = - 2 \ne 0 \)\(\Rightarrow x = - 1\) không là nghiệm của $P\left( x \right).$
\(P(1) = {1^2} + \,1.1 - 2\,\, = 0 \)\(\Rightarrow x = 1\) là nghiệm của $P\left( x \right).$
\(P(2) = {2^2} + \,1.2 - 2\,\, = 4 \ne 0 \)\( \Rightarrow x = 2\) không là nghiệm của $P\left( x \right).$
\(P( - 2) = {( - 2)^2} + \,1.( - 2) - 2\,\, = 0 \)\(\Rightarrow x = - 2\) là nghiệm của $P\left( x \right).$
Vậy \(x = 1;x = - 2\) là nghiệm của $P\left( x \right).$
Số nghiệm của đa thức \({x^3} + 27\) là
Ta có \({x^3} + 27 = 0\)\( \Rightarrow {x^3} = - 27 \Rightarrow {x^3} = {\left( { - 3} \right)^3}\)\( \Rightarrow x = - 3.\)
Vậy đa thức đã cho có một nghiệm \(x = - 3.\)
Tập nghiệm của đa thức \(f(x) = (x + 14)(x - 4)\) là:
\(f(x) = 0 \Rightarrow (x + 14)(x - 4) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 14 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 14\\x = 4\end{array} \right.\)
Vậy tập nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$ là $\left\{ {4;-14} \right\}.$
