Bài tập ôn tập chương 7

Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại B ta có: $A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$.

+ Ta có $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ và điểm $D$ thuộc tia đối của tia $HA$ nên tam giác $AHC$ vuông tại $A$, tam giác $DHC$ vuông tại $H.$

Xét hai tam giác vuông $AHC$ và $DHC$ ta có:

$AH = HD$ (gt)

$HC$ là cạnh chung

Vậy $\Delta AHC{\rm{  =  }}\Delta DHC$ (hai cạnh góc vuông)

+) Ta có $\Delta AHC{\rm{  =  }}\Delta DHC \Rightarrow \widehat {ACH} = \widehat {DCH} = {30^o}$(2 góc tương ứng) và $AC = DC$ (2 cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác $ABC$ và $DBC$ ta có:

$BC$ là cạnh chung

$\widehat {ACB} = \widehat {DCB} = {30^o}$

$AC = CD$     

Vậy $\Delta ABC{\rm{  =  }}\Delta DBC\,(c.g.c) \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BDC} = {90^o}$(2 góc tương ứng)

Vậy $\widehat {BDC} = {90^o}$

+) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên ta có:

$\widehat B + \widehat C = {90^o} \Rightarrow \widehat C = {90^o} - \widehat B = {90^o} - {60^o} = {30^o}$

Trong tam giác ABC ta có $\widehat B > \widehat C$ suy ra $AC > AB.$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:

$BH$ là hình chiếu của $AB$ trên $BC$; $HC$ là hình chiếu của $AC$ trên $BC$

Mà $AB < AC$ (cmt)

Suy ra $BH < HC.$

+) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên ta có:

$\widehat B + \widehat C = {90^o} \Rightarrow \widehat C = {90^o} - \widehat B = {90^o} - {60^o} = {30^o}$

Trong tam giác ABC ta có $\widehat B > \widehat C$ suy ra $AC > AB.$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có:

$BH$ là hình chiếu của $AB$ trên $BC$; $HC$ là hình chiếu của $AC$ trên $BC$

Mà $AB < AC$ (cmt)

Suy ra $BH < HC.$

+ Đặt $BC = a,{\rm{ }}CA = b,{\rm{ }}AB = c$ . Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}}{AE = AC--CE = AC--CD}\\{AF = AB--BF = AB--BD}\end{array}$

Suy ra $AE + AF = AC--CD + AB--BD = AB + AC--\left( {BD + CD} \right)$

Hay $2.AE = AB + AC--\;BC = c + b--a.$

Do đó $AE = \dfrac{{c + b - a}}{2}$

Ta có $E{A_1} = EA + {\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = EA + BC = \dfrac{{c + b - a}}{2} + a = \dfrac{{c + b + a}}{2}$

Chứng minh tương tự ta có:  $F{B_1} = \dfrac{{c + b + a}}{2};\,\,D{C_1} = \dfrac{{c + b + a}}{2}$ 

Vậy $E{A_1} = F{B_1} = D{C_1}.$

+ Do $OD, OE, OF$ lần lượt vuông góc với $BC, AC, AB$ nên các tam giác $AOE, AOF, BOF, BOD, COE, COD$ là các tam giác vuông.

$O$ là giao điểm các đường phân giác nên suy ra $OD = OE = OF.$

Xét hai tam giác vuông $AOE$ và $AOF$ ta có:

$AO$ là cạnh chung;     

$OE = OF$

Vậy $\Delta AOE{\rm{  =  }}\Delta AOF$(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $AE =AF$ (2 cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có: $BD = BF, CD = CE.$

+ Do $OD, OE, OF$ lần lượt vuông góc với $BC, AC, AB$ nên các tam giác $AOE, AOF, BOF, BOD, COE, COD$ là các tam giác vuông.

$O$ là giao điểm các đường phân giác nên suy ra $OD = OE = OF.$

Xét hai tam giác vuông $AOE$ và $AOF$ ta có:

$AO$ là cạnh chung;     

$OE = OF$

Vậy $\Delta AOE{\rm{  =  }}\Delta AOF$(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $AE =AF$ (2 cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có: $BD = BF, CD = CE.$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {60^o} - {60^o} = {60^o}$

Tam giác ABC có $\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^o}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Giả sử tam giác ABC cân tại A có $\widehat A = {80^o}$. Ta sẽ tìm số đo góc B hoặc góc C.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ta có:  $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A = {180^o} - {80^o} = {100^o}$

Do tam giác ABC cân tại A nên $\widehat B = \widehat C$. Từ đó suy ra $\widehat B = \widehat C = \dfrac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = \dfrac{{{{100}^o}}}{2} = {50^o}$

Vậy số đo góc ở đáy là ${50^o}$.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {80^o} - {30^o} = {70^o}$

Tam giác ABC có $\widehat B > \widehat A > \widehat C$ nên áp dụng quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác ta suy ra $AC > \,BC > AB$

Vì $\widehat {ABC}$  là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $AHB$  nên  $\widehat {ABC} = \widehat {AHB} + \widehat {BAH} \Rightarrow \widehat {ABC} > \widehat {AHB}$

Hay $\widehat B > 90^\circ$ nên $\widehat {ABC}$  là góc tù và là góc lớn nhất trong tam giác $ABC \Rightarrow AC > AB;AC > BC$

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: $AB - BC < AC < AB + BC$  
$\Rightarrow \;15 - 8 < AC < 15 + 8$  hay $7 < AC < 23$
Theo đề bài ta có $AC$  là số nguyên tố và $AC > {4^2} = 16$  
$\Rightarrow AC = 17cm$  hoặc $AC = 19cm$
+) Nếu $AC = 17cm$   thì $15 + 8 > 17$  (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) 
+) Nếu $AC = 19cm$  thì $15 + 8 > 19$  (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) 
Vậy độ dài cạnh $AC$ có thể là $17cm$  hoặc $19cm$  

Vì $MI = \dfrac{{ON}}{2} \Rightarrow MI = IO = IN$

Xét tam giác  $MIO$ có $MI = IO$ nên tam giác $MIO$ cân tại $I \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat O$ (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác $MIN$ có $MI = IN$  nên tam giác $MIN$ cân tại $I \Rightarrow \widehat {{M_2}} = \widehat N$  (tính chất tam giác cân)

Suy ra $\widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} = \widehat O + \widehat N \Leftrightarrow \widehat {OMN} = \widehat O + \widehat N$

Xét tam giác $MON$ có $\widehat {OMN} + \widehat N + \widehat O = 180^\circ$  (định lý tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $\widehat {OMN} = \widehat O + \widehat N = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ$   nên tam giác $MON$ vuông tại $M.$

Ta có:$\widehat {HIO} = \widehat {KIO}\left( {gt} \right) \Rightarrow IO$   là tia phân giác góc $KIH$ (1)

Lại có $\widehat {IKO} = \widehat {HKO}\,\left( {gt} \right)$$\Rightarrow KO$ là tia phân giác góc $IKH$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O$ là giao điểm hai tia phân giác 

Do đó $O$ thuộc tia phân giác góc $H$  (tính chất ba đường phân giác trong tam giác)

Suy ra $\widehat {IHO} = \widehat {KHO} = \dfrac{{\widehat {IHK}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ$  (tính chất đường phân giác) 

Ta thấy $MN \bot NP$  nên $MN;NP$ là các đường cao của tam giác $MNP$  mà hai đường này giao nhau tại $N$ nên $N$ là trực tâm tam giác $MNP.$

Theo bài ra ta có $\widehat A:\widehat B:\widehat C = 2:3:4 \Rightarrow \widehat C > \widehat B > \widehat A$

Suy ra $AB > AC > BC$  (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong $\Delta ABC$ )

Gọi $AM,{\rm{ }}BN,{\rm{ }}CE$ là ba đường trung tuyến của tam giác $ABC.$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên theo định lí Py-ta-go ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\,\,\, \Rightarrow B{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169\\ \Rightarrow BC = 13cm\end{array}$

Ta có $AM,{\rm{ }}BN,{\rm{ }}CE$ là các đường trung tuyến ứng với các cạnh $BC,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}AB$ của tam giác vuông  $ABC$

Suy ra $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}E$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}AB.$

$\Rightarrow AN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2} \cdot 12 = 6\,cm\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{AE}} = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2} \cdot 5 = 2,5\,cm$

Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác $ABN$ vuông tại $A$ ta có:

 $\begin{array}{l}A{B^2} + A{N^2} = B{N^2} \Rightarrow {5^2} + {6^2} = B{N^2} \Rightarrow B{N^2} = 61\\ \Rightarrow BN = \sqrt {61} \,cm\end{array}$

Áp dụng định lí Py-ta-go với tam giác AEC vuông tại A ta có:

$\begin{array}{l}A{E^2} + A{C^2} = C{E^2}\,\, \Rightarrow 2,{5^2} + {12^2} = C{E^2}\, \Rightarrow C{E^2} = \dfrac{{601}}{4}\\ \Rightarrow CE = \dfrac{{\sqrt {601} }}{2}cm\end{array}$

Ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A,{\rm{ }}AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên ta có:

$\Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} \cdot 13 = \dfrac{{13}}{2}\,cm$

Ta có : $GA + \,GB + \,GC = \dfrac{2}{3}AM + \dfrac{2}{3}BN + \dfrac{2}{3}CE = \dfrac{2}{3}(AM + BN + CE)$ (do $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ )

$\Rightarrow GA + \,GB + \,GC = \dfrac{2}{3}\left( {\dfrac{{13}}{2} + \sqrt {61}  + \dfrac{{\sqrt {601} }}{2}} \right) \approx 17,71\,cm$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$$\Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {5^2} - {4^2} = 9 = {3^2}$ $\Rightarrow AC = 3cm$

Từ đó ta có $AC < AB < BC\,\left( {3cm < 4cm < 5cm} \right)$ suy ra $\widehat B < \widehat C < \widehat A$  (định lý về góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Vì $\Delta MNP$  cân tại $M$  có $MA$  là trung tuyến nên $MA$  cũng là đường cao (tính chất các đường trong tam giác cân) 
Xét $\Delta MAN\;$ vuông tại $A$, theo định lý Pytago ta có: $M{A^2} + N{A^2} = M{N^2} \Leftrightarrow M{A^2} = M{N^2} - N{A^2} = {13^2} - {12^2} = 25 \Rightarrow MA = 5cm$
Vì $MA$  là trung tuyến, $G\;$ là trọng tâm nên theo tính chất trọng tâm tam giác ta có $MG = \dfrac{2}{3}MA = \dfrac{2}{3}.5 = \dfrac{{10}}{3}\,cm$

Xét $\Delta MNP$ có: $\widehat M + \widehat {MNP} + \widehat {MPN} = {180^0}$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat {MNP} + \widehat {MPN} = {180^0} - \widehat M = {180^0} - {40^0} = {140^0}\left( 1 \right)$

Vì NH là phân giác của $\widehat {MNP}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HNP} = \dfrac{{\widehat {MNP}}}{2}\left( 2 \right)$ (tính chất tia phân giác)

Vì PK là phân giác của $\widehat {MNP}\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {NPK} = \dfrac{{\widehat {MPN}}}{2}\left( 3 \right)$ (tính chất tia phân giác)

Từ (1) (2) và (3) $\Rightarrow \widehat {INP} + \widehat {IPN} = \dfrac{{\widehat {MNP}}}{2} + \dfrac{{\widehat {MPN}}}{2}$$=\dfrac{{\widehat {MNP}+\widehat {MPN}}}{2}= {140^0}:2 = {70^0}$  hay $\widehat {INP} + \widehat {IPN} = {70^0}\left( * \right)$

Xét $\Delta INP$ có: $\widehat {INP} + \widehat {IPN} + \widehat {NIP} = {180^0}\left( {**} \right)$( định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow \widehat {NIP} = {180^0} - \left( {\widehat {INP} + \widehat {IPN}} \right) = {180^0} - {70^0} = {110^0}$