Tam giác cân

Do tam giác ABC cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\)            (1)

Ta thấy \(\Delta ADE\) có: \(AD = AE\,\,(gt)\) nên \(\Delta ADE\) cân tại \(A\).

\( \Rightarrow \widehat {AED} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\)                     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat {AED}\). Mặt khác hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE//BC.\)

Vậy A đúng.

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:

\(\widehat A\) chung

\(AD = AE\,(gt)\)

\(AB = AC\) (vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {AEC} = {90^o}\) (hai góc tương ứng).

Do đó \(\Delta ACE\) là tam giác vuông.

Tam giác \(ABC\) có: \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}\) nên \(\Delta ABC\) là tam giác đều.

Tam giác đều cũng là một tam giác cân nên \(\Delta ABC\) là tam giác cân tại \(A,\,B,\,C.\)

\(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}\) do đó tam giác \(ABC\) có ba góc đều là góc nhọn nên là tam giác nhọn.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Trên tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho: \(MD = \dfrac{{BC}}{2}\), khi đó \(D\) nằm giữa \(A\) và \(M.\)

Ta có: \(\widehat {BDM}\) là góc ngoài đỉnh \(D\) của \(\Delta ABD\) nên \(\widehat {BDM} = \widehat {BAD} + \widehat {ABD}\) suy ra \(\widehat {BDM} > \widehat {BAD}\)   (1)

          \(\widehat {CDM}\) là góc ngoài đỉnh \(D\) của \(\Delta ACD\) nên \(\widehat {CDM} = \widehat {CAD} + \widehat {ACD}\) suy ra \(\widehat {CDM} > \widehat {CAD}\)   (2)

\(\Delta BMD\) có: \(MB = MD\)(theo cách dựng) nên \(\Delta BMD\) cân tại \(M\), suy ra \(\widehat {MBD} = \widehat {BDM}\)

\(\Delta CMD\) có: \(MC = MD\) (theo cách dựng) nên \(\Delta CMD\) cân tại \(M\), suy ra \(\widehat {MCD} = \widehat {CDM}\)

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào \(\Delta BDC\), ta có:

\(\widehat {CBD} + \widehat {BDC} + \widehat {BCD} = {180^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {CBD} + \widehat {BDM} + \widehat {CDM} + \widehat {BCD} = {180^o}\)

\( \Rightarrow 2\widehat {BDM} + 2\widehat {CDM} = {180^o}\)

\( \Rightarrow 2\left( {\widehat {BDM} + \widehat {CDM}} \right) = {180^o}\)

\( \Rightarrow 2\widehat {BDC} = {180^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {BDC} = \dfrac{{{{180}^o}}}{2} = {90^o}\)                    (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

\(\widehat {BAD} + \widehat {CAD} < \widehat {BDM} + \widehat {CDM}\)

\( \Rightarrow \widehat {BAC} < \widehat {BDC}\)

\( \Rightarrow \widehat {BAC} < {90^o}\).

Xét tam giác $AMN,$ ta có:

\(\widehat {MAN} = {180^0} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right) \)\(= {180^0} - {135^0} = {45^0}.\)

Vậy \(\widehat {MAN} = {45^0}.\)

Do tam giác $ABC$  vuông cân ở $A$  nên \(\widehat B = \widehat C = {45^0}\).

Xét tam giác $AMB$  có: $BM = BA(gt),$ nên tam giác $AMB$  cân ở $B.$

Do đó $\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2}$$ = \dfrac{{{{180}^0} - {{45}^0}}}{2} = {67^0}30'$

Chứng minh tương tự ta được tam giác $ANC$  cân ở $C$ và \(\widehat {ANC} = {67^0}30'\).

Xét tam giác $AMN$  có: \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {67^0}30'\), do đó tam giác $AMN$ cân ở $A.$

Do tam giác $ABC$  vuông cân ở $A$  nên \(\widehat B = \widehat C = {45^0}\).

Xét tam giác $AMB$  có: $BM = BA(gt),$ nên tam giác $AMB$  cân ở $B.$

Do đó $\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2}$$ = \dfrac{{{{180}^0} - {{45}^0}}}{2} = {67^0}30'$

Chứng minh tương tự ta được tam giác $ANC$  cân ở $C$ và \(\widehat {ANC} = {67^0}30'\).

Xét tam giác $AMN$  có: \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {67^0}30'\), do đó tam giác $AMN$ cân ở $A.$

Xét tam giác \(ABC\) có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)  (định lí tổng ba góc của tam giác) và \(\widehat A = 45^\circ ;\,\widehat B - \widehat C = 35^\circ \,\left( {gt} \right)\)

Suy ra \(\widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A = {180^o} - {45^o} = 135^\circ \)

Suy ra \(\widehat B = \dfrac{{135^\circ  + 35^\circ }}{2} = 85^\circ ;\,\widehat C = {135^o} - {85^o} = 50^\circ \)

Xét tam giác \(AEB\) cân tại \(A\) (do \(AB = AE\,\left( {gt} \right)\)) nên \(\widehat {AEB} = \widehat {ABE}\) (tính chất tam giác cân) (1)

Lại có: \(\widehat {BAC}\) là góc ngoài tại đỉnh \(A\)của tam giác \(AEB \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {AEB} + \widehat {ABE}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{{{45}^o}}}{2} = {22^o}30'\)

Do đó \(\widehat {CBE} = \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = 85^\circ  + 22^\circ 30' = 107^\circ 30'.\)

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Trong tam giác đều, ba góc bằng nhau và cùng bằng \({60^0}\) (A đúng; D sai).

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau (B sai).

Tam giác vuông cân là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({90^o}\) nên tam giác vuông cân không phải tam giác đều (C sai).

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(\Delta ABC\), ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\)

\( \Rightarrow \widehat A = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - \left( {{{45}^o} + {{45}^o}} \right) = {90^o}\)

\(\Delta ABC\) có \(\widehat A = {90^o};\,\widehat B = \widehat C = {45^o}\) nên \(\Delta ABC\) là tam giác vuông cân.

Do tam giác ABC cân tại \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C\).

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào \(\Delta ABC\), ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\)

\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A\)

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - 2\alpha }}{2} = {90^o} - \alpha \).

Sử dụng cách tính số đo góc ở đáy của tam giác cân ta có:

Số đo góc ở đáy bằng: \(\dfrac{{{{180}^0} - {{46}^0}}}{2} = {67^0}.\)

Tổng số đo hai góc ở đáy là: \({52^o}.2 = 104^\circ \)

Vì tổng ba góc của tam giác bằng \(180^\circ \) nên số đo góc ở đỉnh tam giác cân là:

\(180^\circ  - 104^\circ  = 76^\circ .\)

Từ hình vẽ ta có: \(DC = CE = ED = EB = CA\).

Vì \(DC = CE = ED\) nên \(\Delta CDE\) là tam giác đều.

Vì \(DC = CA\) nên \(\Delta ACD\) cân tại \(C.\)

Vì \(ED = EB\) nên \(\Delta BED\) cân tại \(E.\)

\(\Delta CDE\) là tam giác đều nên \(\widehat {DCE} = \widehat {DEC} = {60^o}\).

Ta có: \(CA = EB\)

\( \Rightarrow CA + CE = EB + CE\)

\( \Rightarrow AE = BC\)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BDC\) có:

\(DE = DC\,(gt)\)

\(AE = BC\,(cmt)\)

\(\widehat {DEA} = \widehat {DCB} = {60^o}\)

\( \Rightarrow \Delta ADE = \Delta BDC\,(c.g.c)\)

\( \Rightarrow DA = DB\) (hai cạnh tương ứng).

\(\Delta ADB\) có \(DA = DB\) (cmt) nên \(\Delta ADB\) cân tại \(D\).

Vậy hình vẽ có 1 tam giác đều và 3 tam giác cân.

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) (vì \(AB = AC\) ) nên \(\widehat B = \widehat {ACB} = {65^o}\).

\(\widehat {ACB} + \widehat {ACD} = {180^o}\) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {ACD} = {180^o} - \widehat {ACB} = {180^o} - {65^o} = {115^o}.\)

Tam giác \(ACD\) cân tại \(C\) (vì \(CA = CD\)) và \(\widehat {ACD} = {115^o}\) nên \(\widehat {CAD} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {ACD}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{115}^o}}}{2} = {32^o}30'\)

Vậy \(x = {32^o}30'.\)

Sử dụng kết quả câu trước \(\Delta AMN\) cân tại \(A\) có: \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {75^o}\).

\( \Rightarrow \widehat {MAN} = {180^0} - 2\widehat {AMN} = {180^0} - {2.75^0} = {30^0}\).

Vậy \(\widehat {MAN} = {30^0}.\)

\(\Delta ABC\) cân ở \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^0}\).

Xét \(\Delta AMB\) có: BM = BA(gt) nên \(\Delta AMB\) cân ở \(B.\)

Do đó \(\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{30}^0}}}{2} = {75^o}\)

Xét \(\Delta ANC\) có: \(CN = CA\) (vì cùng bằng \(AB\)) nên \(\Delta ANC\) cân ở \(C\).

Do đó \(\widehat {ANC} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat C}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{30}^0}}}{2} = {75^o}\).

Xét \(\Delta AMN\) có: \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {75^o}\), do đó \(\Delta AMN\) cân ở \(A.\)

\(\Delta ABC\) cân ở \(A\) nên \(\widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^0}\).

Xét \(\Delta AMB\) có: BM = BA(gt) nên \(\Delta AMB\) cân ở \(B.\)

Do đó \(\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{30}^0}}}{2} = {75^o}\)

Xét \(\Delta ANC\) có: \(CN = CA\) (vì cùng bằng \(AB\)) nên \(\Delta ANC\) cân ở \(C\).

Do đó \(\widehat {ANC} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat C}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{30}^0}}}{2} = {75^o}\).

Xét \(\Delta AMN\) có: \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {75^o}\), do đó \(\Delta AMN\) cân ở \(A.\)

Do tam giác $ABC$  vuông cân ở $A$  nên \(\widehat B = \widehat C = {45^0}\).

Xét tam giác $AMB$  có: $BM = BA(gt),$ nên tam giác $AMB$  cân ở $B.$

Do đó $\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2}$$ = \dfrac{{{{180}^0} - {{45}^0}}}{2} = {67^0}30'$

Chứng minh tương tự ta được tam giác $ANC$  cân ở $C$ và \(\widehat {ANC} = {67^0}30'\).

Xét tam giác $AMN$  có: \(\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {67^0}30'\), do đó tam giác $AMN$ cân ở $A.$

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Trong tam giác đều, mỗi góc bằng \({60^0}.\)

Nên A, B đúng.

Tam giác đều cũng là tam giác cân nhưng tam giác cân chưa chắc là tam giác đều vì nó chỉ có hai cạnh bên bằng nhau.

Vậy C sai.

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng \({45^0}.\)