Tam giác cân

Do tam giác ABC cân tại $A$ nên $\widehat B = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$            (1)

Ta thấy $\Delta ADE$ có: $AD = AE\,\,(gt)$ nên $\Delta ADE$ cân tại $A$.

$\Rightarrow \widehat {AED} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$                     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat B = \widehat {AED}$. Mặt khác hai góc này ở vị trí đồng vị nên $DE//BC.$

Vậy A đúng.

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:

$\widehat A$ chung

$AD = AE\,(gt)$

$AB = AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {AEC} = {90^o}$ (hai góc tương ứng).

Do đó $\Delta ACE$ là tam giác vuông.

Tam giác $ABC$ có: $\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}$ nên $\Delta ABC$ là tam giác đều.

Tam giác đều cũng là một tam giác cân nên $\Delta ABC$ là tam giác cân tại $A,\,B,\,C.$

$\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}$ do đó tam giác $ABC$ có ba góc đều là góc nhọn nên là tam giác nhọn.

Vậy cả A, B, C đều đúng.

Trên tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho: $MD = \dfrac{{BC}}{2}$, khi đó $D$ nằm giữa $A$ và $M.$

Ta có: $\widehat {BDM}$ là góc ngoài đỉnh $D$ của $\Delta ABD$ nên $\widehat {BDM} = \widehat {BAD} + \widehat {ABD}$ suy ra $\widehat {BDM} > \widehat {BAD}$   (1)

          $\widehat {CDM}$ là góc ngoài đỉnh $D$ của $\Delta ACD$ nên $\widehat {CDM} = \widehat {CAD} + \widehat {ACD}$ suy ra $\widehat {CDM} > \widehat {CAD}$   (2)

$\Delta BMD$ có: $MB = MD$(theo cách dựng) nên $\Delta BMD$ cân tại $M$, suy ra $\widehat {MBD} = \widehat {BDM}$

$\Delta CMD$ có: $MC = MD$ (theo cách dựng) nên $\Delta CMD$ cân tại $M$, suy ra $\widehat {MCD} = \widehat {CDM}$

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào $\Delta BDC$, ta có:

$\widehat {CBD} + \widehat {BDC} + \widehat {BCD} = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat {CBD} + \widehat {BDM} + \widehat {CDM} + \widehat {BCD} = {180^o}$

$\Rightarrow 2\widehat {BDM} + 2\widehat {CDM} = {180^o}$

$\Rightarrow 2\left( {\widehat {BDM} + \widehat {CDM}} \right) = {180^o}$

$\Rightarrow 2\widehat {BDC} = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat {BDC} = \dfrac{{{{180}^o}}}{2} = {90^o}$                    (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\widehat {BAD} + \widehat {CAD} < \widehat {BDM} + \widehat {CDM}$

$\Rightarrow \widehat {BAC} < \widehat {BDC}$

$\Rightarrow \widehat {BAC} < {90^o}$.

Xét tam giác $AMN,$ ta có:

$\widehat {MAN} = {180^0} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)$$= {180^0} - {135^0} = {45^0}.$

Vậy $\widehat {MAN} = {45^0}.$

Do tam giác $ABC$  vuông cân ở $A$  nên $\widehat B = \widehat C = {45^0}$.

Xét tam giác $AMB$  có: $BM = BA(gt),$ nên tam giác $AMB$  cân ở $B.$

Do đó $\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2}$$= \dfrac{{{{180}^0} - {{45}^0}}}{2} = {67^0}30'$

Chứng minh tương tự ta được tam giác $ANC$  cân ở $C$ và $\widehat {ANC} = {67^0}30'$.

Xét tam giác $AMN$  có: $\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {67^0}30'$, do đó tam giác $AMN$ cân ở $A.$

Do tam giác $ABC$  vuông cân ở $A$  nên $\widehat B = \widehat C = {45^0}$.

Xét tam giác $AMB$  có: $BM = BA(gt),$ nên tam giác $AMB$  cân ở $B.$

Do đó $\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2}$$= \dfrac{{{{180}^0} - {{45}^0}}}{2} = {67^0}30'$

Chứng minh tương tự ta được tam giác $ANC$  cân ở $C$ và $\widehat {ANC} = {67^0}30'$.

Xét tam giác $AMN$  có: $\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {67^0}30'$, do đó tam giác $AMN$ cân ở $A.$

Xét tam giác $ABC$ có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$  (định lí tổng ba góc của tam giác) và $\widehat A = 45^\circ ;\,\widehat B - \widehat C = 35^\circ \,\left( {gt} \right)$

Suy ra $\widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A = {180^o} - {45^o} = 135^\circ$

Suy ra $\widehat B = \dfrac{{135^\circ  + 35^\circ }}{2} = 85^\circ ;\,\widehat C = {135^o} - {85^o} = 50^\circ$

Xét tam giác $AEB$ cân tại $A$ (do $AB = AE\,\left( {gt} \right)$) nên $\widehat {AEB} = \widehat {ABE}$ (tính chất tam giác cân) (1)

Lại có: $\widehat {BAC}$ là góc ngoài tại đỉnh $A$của tam giác $AEB \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {AEB} + \widehat {ABE}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat {ABE} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{{{45}^o}}}{2} = {22^o}30'$

Do đó $\widehat {CBE} = \widehat {CBA} + \widehat {ABE} = 85^\circ  + 22^\circ 30' = 107^\circ 30'.$

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. Trong tam giác đều, ba góc bằng nhau và cùng bằng ${60^0}$ (A đúng; D sai).

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau (B sai).

Tam giác vuông cân là tam giác cân có góc ở đỉnh bằng ${90^o}$ nên tam giác vuông cân không phải tam giác đều (C sai).

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào $\Delta ABC$, ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat A = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - \left( {{{45}^o} + {{45}^o}} \right) = {90^o}$

$\Delta ABC$ có $\widehat A = {90^o};\,\widehat B = \widehat C = {45^o}$ nên $\Delta ABC$ là tam giác vuông cân.

Do tam giác ABC cân tại $A$ nên $\widehat B = \widehat C$.

Áp dụng định lí tổng các góc của một tam giác vào $\Delta ABC$, ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}$

$\Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0} - \widehat A$

$\Rightarrow \widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - 2\alpha }}{2} = {90^o} - \alpha$.

Sử dụng cách tính số đo góc ở đáy của tam giác cân ta có:

Số đo góc ở đáy bằng: $\dfrac{{{{180}^0} - {{46}^0}}}{2} = {67^0}.$

Tổng số đo hai góc ở đáy là: ${52^o}.2 = 104^\circ$

Vì tổng ba góc của tam giác bằng $180^\circ$ nên số đo góc ở đỉnh tam giác cân là:

$180^\circ  - 104^\circ  = 76^\circ .$

Từ hình vẽ ta có: $DC = CE = ED = EB = CA$.

Vì $DC = CE = ED$ nên $\Delta CDE$ là tam giác đều.

Vì $DC = CA$ nên $\Delta ACD$ cân tại $C.$

Vì $ED = EB$ nên $\Delta BED$ cân tại $E.$

$\Delta CDE$ là tam giác đều nên $\widehat {DCE} = \widehat {DEC} = {60^o}$.

Ta có: $CA = EB$

$\Rightarrow CA + CE = EB + CE$

$\Rightarrow AE = BC$

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta BDC$ có:

$DE = DC\,(gt)$

$AE = BC\,(cmt)$

$\widehat {DEA} = \widehat {DCB} = {60^o}$

$\Rightarrow \Delta ADE = \Delta BDC\,(c.g.c)$

$\Rightarrow DA = DB$ (hai cạnh tương ứng).

$\Delta ADB$ có $DA = DB$ (cmt) nên $\Delta ADB$ cân tại $D$.

Vậy hình vẽ có 1 tam giác đều và 3 tam giác cân.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ (vì $AB = AC$ ) nên $\widehat B = \widehat {ACB} = {65^o}$.

$\widehat {ACB} + \widehat {ACD} = {180^o}$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat {ACD} = {180^o} - \widehat {ACB} = {180^o} - {65^o} = {115^o}.$

Tam giác $ACD$ cân tại $C$ (vì $CA = CD$) và $\widehat {ACD} = {115^o}$ nên $\widehat {CAD} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat {ACD}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{115}^o}}}{2} = {32^o}30'$

Vậy $x = {32^o}30'.$

Sử dụng kết quả câu trước $\Delta AMN$ cân tại $A$ có: $\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {75^o}$.

$\Rightarrow \widehat {MAN} = {180^0} - 2\widehat {AMN} = {180^0} - {2.75^0} = {30^0}$.

Vậy $\widehat {MAN} = {30^0}.$

$\Delta ABC$ cân ở $A$ nên $\widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^0}$.

Xét $\Delta AMB$ có: BM = BA(gt) nên $\Delta AMB$ cân ở $B.$

Do đó $\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{30}^0}}}{2} = {75^o}$

Xét $\Delta ANC$ có: $CN = CA$ (vì cùng bằng $AB$) nên $\Delta ANC$ cân ở $C$.

Do đó $\widehat {ANC} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat C}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{30}^0}}}{2} = {75^o}$.

Xét $\Delta AMN$ có: $\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {75^o}$, do đó $\Delta AMN$ cân ở $A.$

$\Delta ABC$ cân ở $A$ nên $\widehat B = \widehat C = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{120}^o}}}{2} = {30^0}$.

Xét $\Delta AMB$ có: BM = BA(gt) nên $\Delta AMB$ cân ở $B.$

Do đó $\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{30}^0}}}{2} = {75^o}$

Xét $\Delta ANC$ có: $CN = CA$ (vì cùng bằng $AB$) nên $\Delta ANC$ cân ở $C$.

Do đó $\widehat {ANC} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat C}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - {{30}^0}}}{2} = {75^o}$.

Xét $\Delta AMN$ có: $\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {75^o}$, do đó $\Delta AMN$ cân ở $A.$

Do tam giác $ABC$  vuông cân ở $A$  nên $\widehat B = \widehat C = {45^0}$.

Xét tam giác $AMB$  có: $BM = BA(gt),$ nên tam giác $AMB$  cân ở $B.$

Do đó $\widehat {AMB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat B}}{2}$$= \dfrac{{{{180}^0} - {{45}^0}}}{2} = {67^0}30'$

Chứng minh tương tự ta được tam giác $ANC$  cân ở $C$ và $\widehat {ANC} = {67^0}30'$.

Xét tam giác $AMN$  có: $\widehat {AMN} = \widehat {ANM} = {67^0}30'$, do đó tam giác $AMN$ cân ở $A.$

Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Trong tam giác đều, mỗi góc bằng ${60^0}.$

Nên A, B đúng.

Tam giác đều cũng là tam giác cân nhưng tam giác cân chưa chắc là tam giác đều vì nó chỉ có hai cạnh bên bằng nhau.

Vậy C sai.

Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng ${45^0}.$