Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại nên các đáp án B, C đều đúng.

+ Xét bộ ba: $6cm,6cm,5cm.$ Ta có: $6 + 6 = 12 > 5;\,\,6 + 5 = 11 > 6$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $6cm,6cm,5cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án A.

+ Xét bộ ba: $7cm,8cm,10cm.$ Ta có: $7 + 8 = 15 > 10;\,\,8 + 10 = 18 > 7;\,\,10 + 7 = 17 > 8$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $7cm,8cm,10cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án B.

+ Xét bộ ba: $12cm,15cm,9cm.$ Ta có: $12 + 15 = 27 > 9;\,\,15 + 9 = 24 > 12;\,\,9 + 12 = 21 > 15$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $12cm,15cm,9cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án C.

+ Xét bộ ba: $11cm,20cm,9cm.$ Ta có: $11 + 9 = 20$ (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $11cm,20cm,9cm$ không lập thành một tam giác. Chọn đáp án D.

Gọi độ dài cạnh $AC$ là $x\left( {x > 0} \right)$.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$10 - 7 < x < 10 + 7 \Rightarrow 3 < x < 17$. Vì $x$  là số nguyên lớn hơn $11$ nên $x = 13.$

Vậy độ dài cạnh $AC = 13cm.$

Gọi độ dài cạnh $AC$ là $x\left( {x > 0} \right)$.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$7 - 2 < x < 7 + 2 \Rightarrow 5 < x < 9$. Vì $x$  là số tự nhiên lẻ nên $x = 7.$ Độ dài cạnh $AC = 7cm.$

Chu vi tam giác $ABC$ là: $AB + BC + AC = 2 + 7 + 7 = 16\,(\,cm).$

Gọi độ dài cạnh $AB$ là $x\left( {x > 0} \right)$. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$5 - 1 < x < 5 + 1 \Rightarrow 4 < x < 6$. Vì $x$ là số nguyên nên $x = 5.$ Độ dài cạnh $AB = 5cm.$

Tam giác $ABC$ có: $AB = BC = 5\,cm$ nên tam giác $ABC$ cân tại $B.$

$\Delta ABC$ cân tại $A.$

- Trường hợp 1: $AB = AC = 6cm \Rightarrow BC = 20 - 6 - 6 = 8cm.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB + AC = 6 + 6 = 12 > BC = 8cm\\AB + BC = 6 + 8 = 14 > AC = 6cm\\BC + AC = 8 + 6 = 14 > AB = 6cm\end{array} \right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

- Trường hợp 2: $BC = 6cm \Rightarrow AB = AC = \left( {20 - 6} \right):2 = 7cm.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB + AC = 7 + 7 = 14 > BC = 6cm\\AB + BC = 7 + 6 = 13 > AC = 7cm\\BC + AC = 6 + 7 = 13 > AB = 7cm\end{array} \right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Do đó $\Delta ABC$ cân tại A có: $AB = AC = 6cm;\,BC = 8cm$ hoặc $BC = 6cm;\,AB = AC = 7cm$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy $BC = 8\,cm$ hoặc $BC = 6\,cm.$

Trên cạnh $AC$ lấy điểm $K$ sao cho: $AK = AB$.

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta AKE$ có:

$AB = AK$ (cách dựng)

$\widehat {BAE} = \widehat {KAE}$ (vì $AD$ là tia phân giác $\widehat {BAC}$)

$AE$ cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ABE = \Delta AKE\,(c.g.c)$

$\Rightarrow EB = EK$ (hai cạnh tương ứng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta CEK$ ta có: $EC - EK < KC$ mà $EK = EB\,\,(cmt)$ suy ra $EC - EB < KC$  (1)

Mặt khác: $KC = AC - AK = AC - AB$ (vì $AK = AB$ theo cách dựng)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $EC - EB < AC - AB.$

Gọi $I$ là giao điểm của $BM$ và $AC$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta IMC$ ta có: $MC < MI + IC$  (1)

Cộng $MB$ vào hai vế (1) ta được: $MC + MB < MI + IC + MB$

$\Rightarrow MC + MB < MI + MB + IC$

$\Rightarrow MC + MB < IB + IC$      (2)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta IBA$ ta có: $IB < IA + AB$      (3)

Cộng $IC$ vào hai vế (3) ta được: $IB + IC < IA + AB + IC$

$\Rightarrow IB + IC < IA + IC + AB$

$\Rightarrow IB + IC < AC + AB$      (4)

Từ (2) và (4) suy ra $MB + MC < AB + AC$.

Gọi độ dài cạnh còn lại của tam giác là $x\left( {x > 0} \right)$. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$9 - 3 < x < 9 + 3 \Rightarrow 6 < x < 12$. Vì $x$  là số nguyên nên $x \in \left\{ {7;8;9;10;11} \right\}.$

Vì có $5$ giá trị của $x$ thỏa mãn nên có $5$ tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta MIN$ ta có: $MN < MI + NI$     (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta EIF$ ta có: $EF < IF + IE$      (2)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

$MN + EF < MI + NI + IF + IE$

$\begin{array}{l} \Rightarrow MN + EF < \left( {MI + IF} \right) + \left( {NI + IE} \right)\\ \Rightarrow MN + EF < MF + NE\end{array}$.

Nối các đoạn thẳng $MA,\,MB,\,MC$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta AMB$ ta được: $MA + MB > AB$     (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta BMC$ ta được: $MB + MC > BC$     (2)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta CMA$ ta được: $MC + MA > CA$     (3)

Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta được:

$\begin{array}{l}MA + MB + MB + MC + MC + MA > AB + BC + CA\\ \Rightarrow 2\left( {MA + MB + MC} \right) > AB + BC + CA\\ \Rightarrow MA + MB + MC > \dfrac{{AB + BC + CA}}{2}\end{array}$.

Nối các đoạn thẳng $MA,\,MB,\,MC$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta AMB$ ta được: $MA + MB > AB$     (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta BMC$ ta được: $MB + MC > BC$    (2)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta CMA$ ta được: $MC + MA > CA$     (3)

Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta được:

$\begin{array}{l}MA + MB + MB + MC + MC + MA > AB + BC + CA\\ \Rightarrow 2\left( {MA + MB + MC} \right) > AB + BC + CA\\ \Rightarrow MA + MB + MC > \dfrac{{AB + BC + CA}}{2}\end{array}$.

Nối các đoạn thẳng $MA,\,MB,\,MC$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta AMB$ ta được: $MA + MB > AB$     (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta BMC$ ta được: $MB + MC > BC$    (2)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào $\Delta CMA$ ta được: $MC + MA > CA$     (3)

Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta được:

$\begin{array}{l}MA + MB + MB + MC + MC + MA > AB + BC + CA\\ \Rightarrow 2\left( {MA + MB + MC} \right) > AB + BC + CA\\ \Rightarrow MA + MB + MC > \dfrac{{AB + BC + CA}}{2}\end{array}$.

Xét $\Delta AMB$ có: $AM < AB + BM$ (bất đẳng thức tam giác)   (1)

Xét $\Delta AMC$ có: $AM < AC + MC$ (bất đẳng thức tam giác)   (2)

Vì M nằm giữa B và C (gt) suy ra: $BC = BM + MC$. 

Cộng (1) và (2) theo từng vế của hai bất đẳng thức ta được:

$\begin{array}{l}AM + AM < AB + BM + AC + MC\\ \Rightarrow 2AM < AB + \left( {BM + MC} \right) + AC\\ \Rightarrow 2AM < AB + BC + AC.\end{array}$.

 Vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại nên các đáp án A, B, C đều đúng, đáp án D sai.

+ Xét bộ ba: $3cm,5cm,7cm.$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}3 + 5 = 8 > 7\\3 + 7 = 10 > 5\\5 + 7 = 12 > 3\end{array} \right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $3cm,5cm,7cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án A.

+ Xét bộ ba: $4cm,5cm,6cm$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}4 + 5 = 9 > 6\\5 + 6 = 11 > 4\\4 + 6 = 10 > 5\end{array} \right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $4cm,5cm,6cm$  lập thành một tam giác. Loại đáp án B.

+ Xét bộ ba: $2cm,5cm,7cm.$ Ta có: $2 + 5 = 7$ (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $2cm,5cm,7cm$ không lập thành một tam giác. Chọn đáp án C.

+ Xét bộ ba: $3cm,5cm,6cm.$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}3 + 6 = 9 > 5\\3 + 5 = 8 > 6\\5 + 6 = 11 > 3\end{array} \right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên bộ ba $3cm,5cm,6cm$ lập thành một tam giác. Loại đáp án D.

Gọi độ dài cạnh $AC$  là $x\left( {x > 0} \right)$. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$4 - 1 < x < 4 + 1 \Leftrightarrow 3 < x < 5$. Vì $x$  là số nguyên nên $x = 4.$ Vậy độ dài cạnh $AC = 4cm.$

Gọi độ dài cạnh $AC$  là $x\left( {x > 0} \right)$. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$9 - 1 < x < 9 + 1 \Leftrightarrow 8 < x < 10$. Vì $x$  là số nguyên nên $x = 9.$ Độ dài cạnh $AC = 9cm.$

Chu vi tam giác $ABC$ là $AB + BC + AC = 1 + 9 + 9 = 19\,cm.$

Gọi độ dài cạnh $AB$  là $x\left( {x > 0} \right)$. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$8 - 1 < x < 8 + 1 \Leftrightarrow 7 < x < 9.$

Vì $x$  là số nguyên nên $x = 8.$ Độ dài cạnh $AB = 8cm.$

Tam giác $ABC$ có $AB = AC = 8\,cm$ nên tam giác $ABC$ cân tại $A.$

Giả sử $\Delta ABC$ cân tại $A.$

- Trường hợp 1:

$AB = AC = 5cm \Rightarrow BC = 17 - 5 - 5 = 7cm.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 7cm\\AB + BC = 5 + 7 = 12 > AC = 5cm\\BC + AC = 7 + 5 = 12 > AB = 5cm\end{array} \right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

- Trường hợp 2: $BC = 5cm \Rightarrow AB = AC = \left( {17 - 5} \right):2 = 6cm$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB + AC = 6 + 6 = 12 > BC = 5cm\\AB + BC = 5 + 6 = 11 > AC = 6cm\\BC + AC = 6 + 5 = 11 > AB = 6cm\end{array} \right.$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)

Vậy nếu $\Delta ABC$ cân tại A có $\left[ \begin{array}{l}AB = AC = 5cm \Rightarrow BC = 7cm\\BC = 5cm \Rightarrow AB = AC = 6cm\end{array} \right.$

Vậy $BC = 7\,cm$ hoặc $BC = 5\,cm.$