Định lý Pytago

Xét tam giác $ABC$  cân tại $A$  có $AH$  là đường cao.

 Suy ra $AH$  đồng thời là đường trung tuyến.

Suy ra $BC = 2.BH = 2.2 = 4cm.$

Vậy chu vi tam giác $ABC$  là: $4 + 4 + 4 = 12\left( {cm} \right)$

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \)\(\Leftrightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\)

\( \Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12 \)\(\Rightarrow AH = \sqrt {12} \,\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \)\(\Leftrightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\)

\( \Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12 \)\(\Rightarrow AH = \sqrt {12} \,\,\left( {cm} \right)\)

Vì tam giác \(MNP\) vuông tại \(P\) nên theo định lý Pytago ta có: \(M{N^2} = M{P^2} + N{P^2}\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), theo định lý Pytago ta có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) mà \(AB = AC = 4dm.\)

Suy ra \(B{C^2} = {4^2} + {4^2} = 32 \Rightarrow BC = \sqrt {32} \) dm.

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \(x;y\,\left( {x;y > 0} \right)\)

Theo định lý Pytago ta có: \({x^2} + {y^2} = {20^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 400\)

Theo bài ra ta có: \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{9} = \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{9 + 16}} = \dfrac{{400}}{{25}} = 16\)

+) \({x^2} = 16.9 \Rightarrow {x^2} = 144\)\( \Rightarrow x = 12\,cm\)

+) \({y^2} = 16.16 \Rightarrow {y^2} = 256 \Rightarrow y = 16\,\,cm\)

Vậy các cạnh góc vuông có độ dài lần lượt là \(12\,cm;\,16\,cm.\)

Ta có: \(BC = BH + HC = 3,6 + 6,4 = 10\,cm\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Py-ta-go ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2}\)\( = {10^2} - {8^2} = 100 - 64 = 36\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt {36}  = 6\,cm.\)

Xét tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), theo định lý Py-ta-go ta có:

\(H{B^2} + H{A^2} = A{B^2}\)

\( \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {6^2} - 3,{6^2} = 23,04\)

\( \Rightarrow AH = \sqrt {23,04}  = 4,8\,cm.\)

Vậy \(AH = 4,8\,cm;\,AB = 6\,cm.\)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ta được:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow B{C^2} = A{C^2} - A{B^2}\)\( \Rightarrow {x^2} = {26^2} - {10^2} = 576 \Rightarrow x = 24\,cm.\)

Vậy \(x = 24\,cm.\)

Sử dụng kết quả câu trước ta có \(BH = 3\,cm.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC = 5\,cm.\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác \(ACH\)vuông tại \(H\) ta có:

\(A{C^2} = C{H^2} + A{H^2} \Rightarrow C{H^2} = A{C^2} - A{H^2}\)

\( \Rightarrow C{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow CH = \sqrt 9 \, = 3\,\left( {cm} \right).\)

Suy ra \(BC = BH + CH = 3 + 3 = 6\,cm.\)

Vậy chu vi tam giác \(ABC\) là: \(AB + AC + BC = 5 + 5 + 6 = 16\,\left( {cm} \right)\).

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}\)

\( \Rightarrow B{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow BH = \sqrt 9 \, = 3\,\left( {cm} \right).\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}\)

\( \Rightarrow B{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow BH = \sqrt 9 \, = 3\,\left( {cm} \right).\)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\) ta được:

\(A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}\) \( \Rightarrow H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = {15^2} - {12^2} = 81\) \( \Rightarrow HB = \sqrt {81}  = 9\,cm\) .

Suy ra \(BC = HB + HC = 9 + 16 = 25\,cm.\)

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông \(AHC\) ta được:

 \(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {400} \, = 20\,cm.\)

Chu vi tam giác \(ABC\) là: \(AB + AC + BC = 15 + 20 + 25 = 60\,(cm).\)

+ Với bộ số \(11cm;7cm;8cm\) ta thấy \({11^2} = 121;\,{7^2} = 49;{8^2} = 64\) nên \({7^2} + {8^2} = 49 + 64 = 113 < 121 = {11^2}\) suy ra loại đáp án A.

+ Với bộ số \(12dm;15dm;18dm\) ta thấy \({12^2} = 144;\,{15^2} = 225;\,{18^2} = 324\) nên \({12^2} + {15^2} = 144 + 225 = 369 > 324 = {18^2}\)  suy ra loại đáp án B.

+ Với bộ số \(9m;12m;15m\) ta thấy \({9^2} = 81;\,{12^2} = 144;\,{15^2} = 225\) nên \({9^2} + {12^2} = {15^2}\,\,\left( {81 + 144 = 225} \right)\)

Theo định lí Pytago đảo tam giác với ba cạnh có độ dài \(9m;12m;15m\) là tam giác vuông.

+ Với bộ số \(6m;7m;9m\) ta thấy \({6^2} = 36;{7^2} = 49;{9^2} = 81\) nên \({6^2} + {7^2} = 36 + 49 = 85 < 81 = {9^2}\) suy ra loại đáp án D.

Kẻ \(AH \bot BD\) tại \(H.\)

Khi đó \(ACDH\) là hình chữ nhật suy ra \(HD = AC = x;\,AH = CD = 4\)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(AHB\) ta được:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)

\( \Rightarrow H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9\)

\( \Rightarrow HB = \sqrt 9  = 3\,\left( {cm} \right).\)

Do đó \(x = HD = BD - HB = 7 - 3 = 4\,(cm).\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = a\,(cm)\)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\)

\( \Rightarrow {6^2} = {a^2} + {a^2}\)

\( \Rightarrow 2{a^2} = 36\)

\( \Rightarrow {a^2} = 36:2 = 18\)

Vậy bình phương độ dài cạnh của hình vuông là \(18.\)

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \(x;y\) (cm) và độ dài cạnh huyền là \(z\,\left( {cm} \right)\) \(\left( {0 < x < y < z} \right).\)

Theo đề bài ta có: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{{12}}\) và \(x + y + z = 60\)

Đặt \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{{12}} = k\,\left( {k > 0} \right)\) suy ra \(x = 5k;\,y = 12k\).

Theo định lý Pytago ta có: \({x^2} + {y^2} = {z^2}\)\( \Rightarrow {z^2} = {\left( {5k} \right)^2} + {\left( {12k} \right)^2} = 169{k^2} = {\left( {13k} \right)^2}\)\( \Rightarrow z = 13k\)

Suy ra \(x + y + z = 5k + 12k + 13k = 30k = 60\) \( \Rightarrow k = 60:30 = 2\) (thỏa mãn)

Từ đó ta có: \(z = 13k = 13.2 = 26\,\left( {cm} \right).\)

Vậy cạnh huyền dài \(26\,cm.\)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \)\(\Leftrightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\)

\( \Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12 \)\(\Rightarrow AH = \sqrt {12} \,\,\left( {cm} \right)\)

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên theo định lý Pytago ta có \(B{A^2} + B{C^2} = A{C^2}.\)

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), theo định lý Pytago ta có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) mà $AB = AC = 2dm.$

Nên \(B{C^2} = {2^2} + {2^2} = 8 \Rightarrow BC = \sqrt 8 \) dm.

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \(x;y\,\left( {x;y > 0} \right)\)

Theo định lý Pytago ta có: \({x^2} + {y^2} = {26^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 676\)

Theo bài ra ta có \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{{12}} \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} = \dfrac{{{y^2}}}{{144}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{25 + 144}}\)\( = \dfrac{{676}}{{169}} = 4\)

Suy ra \({x^2} = 25.4 \Rightarrow {x^2} = 100\)\( \Rightarrow x = 10\,cm\)

\({y^2} = 144.4 \Rightarrow {y^2} = 576 \Rightarrow y = 24\,\,cm\)

Vậy các cạnh góc vuông có độ dài \(10\,cm;\,24\,cm.\)