Định lý Pytago

Xét tam giác $ABC$  cân tại $A$  có $AH$  là đường cao.

 Suy ra $AH$  đồng thời là đường trung tuyến.

Suy ra $BC = 2.BH = 2.2 = 4cm.$

Vậy chu vi tam giác $ABC$  là: $4 + 4 + 4 = 12\left( {cm} \right)$

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:

$A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}$$\Leftrightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}$

$\Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12$$\Rightarrow AH = \sqrt {12} \,\,\left( {cm} \right)$

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:

$A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}$$\Leftrightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}$

$\Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12$$\Rightarrow AH = \sqrt {12} \,\,\left( {cm} \right)$

Vì tam giác $MNP$ vuông tại $P$ nên theo định lý Pytago ta có: $M{N^2} = M{P^2} + N{P^2}$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ mà $AB = AC = 4dm.$

Suy ra $B{C^2} = {4^2} + {4^2} = 32 \Rightarrow BC = \sqrt {32}$ dm.

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là $x;y\,\left( {x;y > 0} \right)$

Theo định lý Pytago ta có: ${x^2} + {y^2} = {20^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 400$

Theo bài ra ta có: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}$$\Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{9} = \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{9 + 16}} = \dfrac{{400}}{{25}} = 16$

+) ${x^2} = 16.9 \Rightarrow {x^2} = 144$$\Rightarrow x = 12\,cm$

+) ${y^2} = 16.16 \Rightarrow {y^2} = 256 \Rightarrow y = 16\,\,cm$

Vậy các cạnh góc vuông có độ dài lần lượt là $12\,cm;\,16\,cm.$

Ta có: $BC = BH + HC = 3,6 + 6,4 = 10\,cm$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Py-ta-go ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

$\Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2}$$= {10^2} - {8^2} = 100 - 64 = 36$

$\Rightarrow AB = \sqrt {36}  = 6\,cm.$

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, theo định lý Py-ta-go ta có:

$H{B^2} + H{A^2} = A{B^2}$

$\Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {6^2} - 3,{6^2} = 23,04$

$\Rightarrow AH = \sqrt {23,04}  = 4,8\,cm.$

Vậy $AH = 4,8\,cm;\,AB = 6\,cm.$

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta được:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow B{C^2} = A{C^2} - A{B^2}$$\Rightarrow {x^2} = {26^2} - {10^2} = 576 \Rightarrow x = 24\,cm.$

Vậy $x = 24\,cm.$

Sử dụng kết quả câu trước ta có $BH = 3\,cm.$

$\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC = 5\,cm.$

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác $ACH$vuông tại $H$ ta có:

$A{C^2} = C{H^2} + A{H^2} \Rightarrow C{H^2} = A{C^2} - A{H^2}$

$\Rightarrow C{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow CH = \sqrt 9 \, = 3\,\left( {cm} \right).$

Suy ra $BC = BH + CH = 3 + 3 = 6\,cm.$

Vậy chu vi tam giác $ABC$ là: $AB + AC + BC = 5 + 5 + 6 = 16\,\left( {cm} \right)$.

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:

$A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}$

$\Rightarrow B{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow BH = \sqrt 9 \, = 3\,\left( {cm} \right).$

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:

$A{B^2} = B{H^2} + A{H^2} \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}$

$\Rightarrow B{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow BH = \sqrt 9 \, = 3\,\left( {cm} \right).$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta được:

$A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}$ $\Rightarrow H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = {15^2} - {12^2} = 81$ $\Rightarrow HB = \sqrt {81}  = 9\,cm$ .

Suy ra $BC = HB + HC = 9 + 16 = 25\,cm.$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $AHC$ ta được:

 $A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400$$\Rightarrow AC = \sqrt {400} \, = 20\,cm.$

Chu vi tam giác $ABC$ là: $AB + AC + BC = 15 + 20 + 25 = 60\,(cm).$

+ Với bộ số $11cm;7cm;8cm$ ta thấy ${11^2} = 121;\,{7^2} = 49;{8^2} = 64$ nên ${7^2} + {8^2} = 49 + 64 = 113 < 121 = {11^2}$ suy ra loại đáp án A.

+ Với bộ số $12dm;15dm;18dm$ ta thấy ${12^2} = 144;\,{15^2} = 225;\,{18^2} = 324$ nên ${12^2} + {15^2} = 144 + 225 = 369 > 324 = {18^2}$  suy ra loại đáp án B.

+ Với bộ số $9m;12m;15m$ ta thấy ${9^2} = 81;\,{12^2} = 144;\,{15^2} = 225$ nên ${9^2} + {12^2} = {15^2}\,\,\left( {81 + 144 = 225} \right)$

Theo định lí Pytago đảo tam giác với ba cạnh có độ dài $9m;12m;15m$ là tam giác vuông.

+ Với bộ số $6m;7m;9m$ ta thấy ${6^2} = 36;{7^2} = 49;{9^2} = 81$ nên ${6^2} + {7^2} = 36 + 49 = 85 < 81 = {9^2}$ suy ra loại đáp án D.

Kẻ $AH \bot BD$ tại $H.$

Khi đó $ACDH$ là hình chữ nhật suy ra $HD = AC = x;\,AH = CD = 4$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông $AHB$ ta được:

$A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}$

$\Rightarrow H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9$

$\Rightarrow HB = \sqrt 9  = 3\,\left( {cm} \right).$

Do đó $x = HD = BD - HB = 7 - 3 = 4\,(cm).$

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = a\,(cm)$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$

$\Rightarrow {6^2} = {a^2} + {a^2}$

$\Rightarrow 2{a^2} = 36$

$\Rightarrow {a^2} = 36:2 = 18$

Vậy bình phương độ dài cạnh của hình vuông là $18.$

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là $x;y$ (cm) và độ dài cạnh huyền là $z\,\left( {cm} \right)$ $\left( {0 < x < y < z} \right).$

Theo đề bài ta có: $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{{12}}$ và $x + y + z = 60$

Đặt $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{{12}} = k\,\left( {k > 0} \right)$ suy ra $x = 5k;\,y = 12k$.

Theo định lý Pytago ta có: ${x^2} + {y^2} = {z^2}$$\Rightarrow {z^2} = {\left( {5k} \right)^2} + {\left( {12k} \right)^2} = 169{k^2} = {\left( {13k} \right)^2}$$\Rightarrow z = 13k$

Suy ra $x + y + z = 5k + 12k + 13k = 30k = 60$ $\Rightarrow k = 60:30 = 2$ (thỏa mãn)

Từ đó ta có: $z = 13k = 13.2 = 26\,\left( {cm} \right).$

Vậy cạnh huyền dài $26\,cm.$

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:

$A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}$$\Leftrightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}$

$\Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12$$\Rightarrow AH = \sqrt {12} \,\,\left( {cm} \right)$

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên theo định lý Pytago ta có $B{A^2} + B{C^2} = A{C^2}.$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ mà $AB = AC = 2dm.$

Nên $B{C^2} = {2^2} + {2^2} = 8 \Rightarrow BC = \sqrt 8$ dm.

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là $x;y\,\left( {x;y > 0} \right)$

Theo định lý Pytago ta có: ${x^2} + {y^2} = {26^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 676$

Theo bài ra ta có $\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{{12}} \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{25}} = \dfrac{{{y^2}}}{{144}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{25 + 144}}$$= \dfrac{{676}}{{169}} = 4$

Suy ra ${x^2} = 25.4 \Rightarrow {x^2} = 100$$\Rightarrow x = 10\,cm$

${y^2} = 144.4 \Rightarrow {y^2} = 576 \Rightarrow y = 24\,\,cm$

Vậy các cạnh góc vuông có độ dài $10\,cm;\,24\,cm.$