Định lý Pytago

Ta có $BC = BH + HC = 9 + 16 = 25\,cm$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, theo định lý Py-ta-go ta có

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$$\Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2}$$= {25^2} - {20^2} = 225$$\Rightarrow AB = 15\,cm.$

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, theo định lý Py-ta-go ta có

$H{B^2} + H{A^2} = A{B^2}$$\Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {15^2} - {9^2} = 144$$\Rightarrow AH = 12\,cm.$

Vậy $AH = 12\,cm;\,AB = 15\,cm.$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta được

$A{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$$\Rightarrow A{B^2} = A{C^2} - B{C^2}$$\Rightarrow {x^2} = {13^2} - {12^2} = 25 \Rightarrow x = 5\,cm.$

Vậy $x = 5\,cm.$

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:

$A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}$$\Leftrightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}$

$\Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12$$\Rightarrow AH = \sqrt {12} \,\,\left( {cm} \right)$

Xét tam giác $ABC$  cân tại $A$  có $AH$  là đường cao.

 Suy ra $AH$  đồng thời là đường trung tuyến.

Suy ra $BC = 2.BH = 2.2 = 4cm.$

Vậy chu vi tam giác $ABC$  là: $4 + 4 + 4 = 12\left( {cm} \right)$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta được

$A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}$$\Rightarrow H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9$$\Rightarrow HB = 3\,cm$

Suy ra $BC = HB + HC = 3 + \sqrt {184} \,cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $AHC$ ta được

 $A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {4^2} + 184 = 200$$\Rightarrow AC = \sqrt {200} \,cm$

Chu vi tam giác $ABC$ là $AB + AC + BC = 5 + \sqrt {200}  + 3 + \sqrt {184}$$\approx 35,7\,cm.$

+ Với bộ số $15cm;8cm;18cm$ ta thấy ${18^2} = 324;\,{15^2} = 225;{8^2} = 64$ nên ${15^2} + {8^2} = 289 < {18^2}$ nên loại A.

+ Với bộ số $21dm;20dm;29dm$ ta thấy ${29^2} = 841;\,{21^2} = 441;\,{20^2} = 400$ nên ${21^2} + {20^2} = {29^2}\left( {441 + 400 = 881} \right)$

Hay tam giác với ba cạnh có độ dài $21dm;20dm;29dm$ thì tam giác đó là tam giác vuông (theo định lý Pytago đảo).

+ Với bộ số $5m;6m;8m$ ta thấy ${8^2} = 64;{5^2} + {6^2} = 61 \Rightarrow {8^2} > {5^2} + {6^2}$ nên  loại C.

+ Với bộ số $2m;3m;4m$ ta thấy ${4^2} = 16;{2^2} + {3^2} = 13$ nên ${4^2} > {2^2} + {3^2}$ nên loại D.

Kẻ $AH \bot BD$ tại $H.$

Khi đó $ACDB$ là hình chữ nhật suy ra $HD = AC = 6;\,AH = CD = 8$

Do đó $BH = BD - DH = 10 - 6 = 4\,$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông $AHB$ ta được

$A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {4^2} + {8^2} = 80$$\Rightarrow AB = \sqrt {80} .$

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = 4\,cm$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$ $= {4^2} + {4^2} = 32 \Rightarrow AC = \sqrt {32}$ cm.

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là $x;y\,\left( {y > x > 0} \right)$ (cm) và độ dài cạnh huyền là $z\,\left( {z > y} \right)\,\left( {cm} \right)$

Theo đề bài ta có $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4}$ và $x + y + z = 36\,cm$

Đặt $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{4} = k\,\left( {k > 0} \right)$ suy ra $x = 3k;\,y = 4k$

Theo định lý Pytago ta có ${x^2} + {y^2} = {z^2}$$\Rightarrow {z^2} = {\left( {3k} \right)^2} + {\left( {4k} \right)^2} = 25{k^2} = {\left( {5k} \right)^2}$$\Rightarrow z = 5k$

Suy ra $x + y + z = 3k + 4k + 5k = 12k = 36$ $\Rightarrow k = 3$ (tm )

Từ đó $x = 9\,cm;\,y = 12\,cm;z = 15\,cm.$

Vậy cạnh huyền dài $15\,cm.$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^o}$ $\Rightarrow \widehat {ABC} = {90^o} - \widehat {ACB} = {90^o} - {30^o} = {60^o}.$

Lại có: $BD$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ (gt) nên $\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2} = \dfrac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}.$

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ có: $\widehat {ACB} = {30^o}$ nên $AB = \dfrac{1}{2}BC$ hay $BC = 2AB.$

Áp dụng định lí Pytago vào $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \Rightarrow {\left( {2AB} \right)^2} = A{B^2} + {3^2}\\ \Rightarrow 4A{B^2} = A{B^2} + 9\\ \Rightarrow 4A{B^2} - A{B^2} = 9\\ \Rightarrow 3A{B^2} = 9\\ \Rightarrow A{B^2} = 9:3 = 3\\ \Rightarrow AB = \sqrt 3 \end{array}$

$\Delta ABD$ vuông tại $A$ có: $\widehat {ABD} = {30^o}$ nên $AD = \dfrac{1}{2}BD$ hay $BD = 2AD.$

Áp dụng định lí Pytago vào $\Delta ABD$ vuông tại $A$ ta có:

$\begin{array}{l}B{D^2} = A{B^2} + A{D^2}\\ \Rightarrow {\left( {2AD} \right)^2} = A{B^2} + A{D^2}\\ \Rightarrow {\left( {2x} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {x^2}\\ \Rightarrow 4{x^2} = 3 + {x^2}\\ \Rightarrow 4{x^2} - {x^2} = 3\\ \Rightarrow 3{x^2} = 3\\ \Rightarrow {x^2} = 3:3 = 1\\ \Rightarrow x = \sqrt 1  = 1\end{array}$.

Áp dụng định lí Pytago vào $\Delta {\rm{A}}BH$ vuông tại $H$ ta có:

$A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}$

$\Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {9^2} - {3^2} = 72$.

Áp dụng định lí Pytago vào $\Delta {\rm{AC}}H$ vuông tại $H$ ta có:

$A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}$

$\Rightarrow H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {11^2} - 72 = 49$

$\Rightarrow x = HC = \sqrt {49}  = 7.$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AHB$ vuông tại $H$ ta có:

$A{H^2} + B{H^2} = A{B^2} \Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}$     (1)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AHC$ vuông tại $H$ ta có:

$A{H^2} + C{H^2} = A{C^2} \Rightarrow A{H^2} = A{C^2} - C{H^2}$     (2)

Từ (1) và (2) ta có: $A{B^2} - B{H^2} = A{C^2} - C{H^2}$

$\Rightarrow A{B^2} - {18^2} = {x^2} - {32^2}$

$\Rightarrow A{B^2} = {x^2} - {32^2} + {18^2}$

$\Rightarrow A{B^2} = {x^2} - 1024 + 324$

$\Rightarrow A{B^2} = {x^2} - 700$

Ta có: $BC = BH + CH = 18 + 32 = 50.$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

$\Rightarrow A{B^2} + {x^2} = {50^2}$       (3)

Thay $A{B^2} = {x^2} - 700$ vào (3) ta được:

$\begin{array}{l}{x^2} - 700 + {x^2} = {50^2}\\ \Rightarrow 2{x^2} = 2500 + 700\\ \Rightarrow 2{x^2} = 3200\\ \Rightarrow {x^2} = 3200:2 = 1600\\ \Rightarrow x = \sqrt {1600}  = 40.\end{array}$.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AHB$ vuông tại $H$ ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = {6^2} + 4,{5^2} = 36 + \dfrac{{81}}{4} = \dfrac{{225}}{4}\end{array}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AHC$ vuông tại $H$ ta có:

$\begin{array}{l}A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\\ \Rightarrow A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100\end{array}$

Ta có: $BC = BH + HC = 4,5 + 8 = \dfrac{{25}}{2}$

$\Rightarrow B{C^2} = {\left( {\dfrac{{25}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{625}}{4}$                             (1)

Ta có: $A{B^2} + A{C^2} = \dfrac{{225}}{4} + 100 = \dfrac{{625}}{4}$       (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A.$

Gọi ${\rm{a}},b,c$ lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác ứng với các đường cao theo thứ tự đã cho, $S$ là diện tích của $\Delta ABC$  $\left( {a,b,c,\,S > 0} \right).$

Ta có: $S = \dfrac{1}{2}.4,8.a = \dfrac{1}{2}.6.b = \dfrac{1}{2}.8.c$ hay $4,8a = 6b = 8c = 2S$

Do đó $a = \dfrac{{2S}}{{4,8}} = \dfrac{{5S}}{{12}}$, $b = \dfrac{{2S}}{6} = \dfrac{S}{3}$, $c = \dfrac{{2S}}{8} = \dfrac{S}{4}$.

Ta có: ${b^2} + {c^2} = {\left( {\dfrac{S}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{S}{4}} \right)^2} = \dfrac{{{S^2}}}{9} + \dfrac{{{S^2}}}{{16}} = \dfrac{{25{S^2}}}{{144}}$, ${a^2} = {\left( {\dfrac{{5S}}{{12}}} \right)^2} = \dfrac{{25{S^2}}}{{144}}$.

Suy ra ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ nên tam giác đã cho là tam giác vuông, đỉnh góc vuông ứng với đường cao có độ dài là $4,8\,cm.$