Hai đường thẳng vuông góc

Nếu \(Ox\) và \(Ox'\) là hai tia đối nhau thì \(xx' \bot yy'\).

Nếu \(Ox\) và \(Oy'\) là hai tia đối nhau thì \(xy' \bot x'y\).

Vậy cả A, B đều đúng.

Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau nên A, C đúng.

Đường trung trực của đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó (D đúng).

Hai đường thẳng cắt nhau thì chưa chắc vuông góc nên B sai.

Vì \(OC\) nằm giữa hai tia \(OA\) và \(OB\) nên \(\widehat {AOC} + \widehat {COB} = \widehat {AOB}\)\( \Rightarrow \widehat {BOC} = \widehat {AOB} - \widehat {AOC} = {140^o} - {50^o} = {90^o}.\)

Suy ra \(OB \bot OC.\)

Vì \(OD \bot OB\) nên \(\widehat {DOB} = 90^\circ \) (B đúng).

Tia \(OD\)  và \(OA\)  thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ \(OB\) nên \(OB\) nằm giữa hai tia \(OA,\,\,OD\), ta có:

 \(\widehat {AOD} = \widehat {AOB} + \widehat {DOB} = {55^o} + {90^o} = {145^o}\) (C đúng).

Vì \(OA\) và \(OC\) là hai tia đối nhau nên tia \(OD\) nằm giữa hai tia \(OA\) và \(OC\), ta có:

\(\widehat {AOD} + \widehat {COD} = \widehat {AOC}\)

\( \Rightarrow {145^o} + \widehat {COD} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {COD} = 180^\circ  - 145^\circ  = {35^o}\) (A đúng). 

Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\widehat {AOD} = \widehat {BOC} = {30^0}\).

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có: \(\widehat {AOD} < \widehat {AOC}\left( {{{30}^0} < {{90}^0}} \right)\) nên tia \(OD\) nằm giữa hai tia \(OA\) và \(OC\).

Ta có: \(\widehat {AOD} + \widehat {COD} = \widehat {AOC}\)

\( \Rightarrow {30^0} + \widehat {COD} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {COD} = {90^0} - {30^0} = {60^0}.\)

Vậy \(\widehat {COD} = 60^\circ .\)

Vì tia \(OD\) nằm trong \(\widehat {AOB}\) nên tia \(OD\) nằm giữa hai tia OA và OB, ta có:

\(\widehat {AOD} + \widehat {DOB} = \widehat {AOB} \Rightarrow \widehat {AOD} + {90^0} = {120^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {AOD} = {120^0} - {90^0} = {30^0}\,\,\,\,\,\,(1)\)

Vì tia \(OC\) nằm trong \(\widehat {AOB}\) nên tia \(OC\) nằm giữa hai tia OA và OB, ta có:

\(\widehat {AOC} + \widehat {COB} = \widehat {AOB} \Rightarrow {90^0} + \widehat {COB} = {120^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {COB} = {120^0} - {90^0} = {30^0}\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {BOC} = {30^0}\).

Vì tia \(OD\) nằm trong \(\widehat {AOB}\) nên tia \(OD\) nằm giữa hai tia OA và OB, ta có:

\(\widehat {AOD} + \widehat {DOB} = \widehat {AOB} \Rightarrow \widehat {AOD} + {90^0} = {120^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {AOD} = {120^0} - {90^0} = {30^0}\,\,\,\,\,\,(1)\)

Vì tia \(OC\) nằm trong \(\widehat {AOB}\) nên tia \(OC\) nằm giữa hai tia OA và OB, ta có:

\(\widehat {AOC} + \widehat {COB} = \widehat {AOB} \Rightarrow {90^0} + \widehat {COB} = {120^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {COB} = {120^0} - {90^0} = {30^0}\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {BOC} = {30^0}\).

Ta có: \(\widehat {xOA} + \widehat {yOA} = 180^\circ \) (tính chất hai góc kề bù)

Vì \(Oz\) là phân giác \(\widehat {xOA}\) nên \(\widehat {xOz} = \widehat {zOA} = \dfrac{{\widehat {xOA}}}{2}\,\,\,\left( {\,1\,} \right)\)

Vì \(Ot\) là phân giác \(\widehat {yOA}\) nên \(\widehat {AOt} = \widehat {yOt} = \dfrac{{\widehat {yOA}}}{2}\,\,\,\left( {\,2} \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {zOA} + \widehat {AOt} = \dfrac{{\widehat {xOA}}}{2} + \dfrac{{\widehat {yOA}}}{2}\) \( = \dfrac{{\widehat {xOA} + \widehat {yOA}}}{2} = \dfrac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Hay \(\widehat {zOt} = 90^\circ \).

Vì tia \(OC\) nằm trong \(\widehat {AOB}\) nên tia \(OC\) nằm giữa tia \(OA\) và \(OB\), ta có:

\(\widehat {AOC} + \widehat {COB} = \widehat {AOB}\) \( \Rightarrow {25^o} + \widehat {COB} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {COB} = {90^0} - {25^o} = {65^o}.\)

Lại có: \(OD\) nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(OB\)  không chứa tia \(OC\) nên tia \(OB\) nằm giữa hai tia \(OC\) và \(OD\), ta có: \({\rm{ }}\widehat {BOD} + \widehat {COB} = \widehat {COD}\)

\( \Rightarrow \widehat {BOD} = \widehat {COD} - {\rm{ }}\widehat {COB} = {90^o} - {65^o} = {25^o}.\)

Sử dụng kết quả câu trước ta có: \(\widehat {xOy'} = \widehat {x'Oy} = {60^o}.\)

Ta có: \(Om\) và \(On\) là tia phân giác của các góc \(xOy'\) và góc \(x'Oy\) nên \(\widehat {xOm} = \dfrac{{\widehat {xOy'}}}{2} = \dfrac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o};\) \(\widehat {nOy} = \dfrac{{\widehat {x'Oy}}}{2} = \dfrac{{{{60}^o}}}{2} = {30^o}\)

Lại có: \(\widehat {xOm} + \widehat {mOn} + \widehat {nOy} = \widehat {xOy}\)

\(\widehat {mOn} = \widehat {xOy} - \left( {\widehat {xOm} + \widehat {nOy}} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {mOn} = {150^o} - \left( {{{30}^o} + {{30}^o}} \right) = {90^o}\).

Vì \(Oy'\) nằm giữa hai tia \(Ox;Oy\) ta có: \(\widehat {xOy'} + \widehat {yOy'} = \widehat {xOy}\)

\( \Rightarrow \widehat {xOy'} + 90^\circ  = 150^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {xOy'} = {150^o} - {90^o} = {60^o}.\) 

Vì \(Ox'\) nằm giữa hai tia \(Ox;Oy\) ta có: \(\widehat {x'Oy} + \widehat {x'Ox} = \widehat {xOy}\)

\( \Rightarrow \widehat {x'Oy} + 90^\circ  = 150^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {x'Oy} = {150^o} - {90^o} = {60^o}.\)

Vì \(Oy'\) nằm giữa hai tia \(Ox;Oy\) ta có: \(\widehat {xOy'} + \widehat {yOy'} = \widehat {xOy}\)

\( \Rightarrow \widehat {xOy'} + 90^\circ  = 150^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {xOy'} = {150^o} - {90^o} = {60^o}.\) 

Vì \(Ox'\) nằm giữa hai tia \(Ox;Oy\) ta có: \(\widehat {x'Oy} + \widehat {x'Ox} = \widehat {xOy}\)

\( \Rightarrow \widehat {x'Oy} + 90^\circ  = 150^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {x'Oy} = {150^o} - {90^o} = {60^o}.\)

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có : \(\widehat {AOD} < \widehat {AOC}\,\,\left( {{{50}^0} < {{90}^0}} \right)\)

Suy ra tia $OD$  nằm giữa hai tia $OA$  và $OC$

$ \Rightarrow \widehat {AOD} + \widehat {COD} = \widehat {AOC} $$\Rightarrow {50^0} + \widehat {COD} = {90^0}$

$ \Rightarrow \widehat {COD} = {90^0} - {50^0} = {40^0}.$

Vậy \(\widehat {COD} = 40^\circ .\)

Vì tia OD nằm giữa hai tia OA và OB

\( \Rightarrow \widehat {AOD} + \widehat {DOB} = \widehat {AOB} \)\(\Rightarrow \widehat {AOD} + {90^0} = {140^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {AOD} = {140^0} - {90^0} = {50^0}\,\,\,\,\,\,(1)\)

Vì tia OC nằm giữa hai tia OA và OB

$ \Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {COB} = \widehat {AOB}$$ \Rightarrow {90^0} + \widehat {COB} = {140^0}$

$ \Rightarrow \widehat {COB} = {140^0} - {90^0} = {50^0}\,\,\,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {BOC} = {50^0}\)

Vì tia OD nằm giữa hai tia OA và OB

\( \Rightarrow \widehat {AOD} + \widehat {DOB} = \widehat {AOB} \)\(\Rightarrow \widehat {AOD} + {90^0} = {140^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {AOD} = {140^0} - {90^0} = {50^0}\,\,\,\,\,\,(1)\)

Vì tia OC nằm giữa hai tia OA và OB

$ \Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {COB} = \widehat {AOB}$$ \Rightarrow {90^0} + \widehat {COB} = {140^0}$

$ \Rightarrow \widehat {COB} = {140^0} - {90^0} = {50^0}\,\,\,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {BOC} = {50^0}\)

Vì tia OD nằm giữa hai tia OA và OB

\( \Rightarrow \widehat {AOD} + \widehat {DOB} = \widehat {AOB} \)\(\Rightarrow \widehat {AOD} + {90^0} = {140^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {AOD} = {140^0} - {90^0} = {50^0}\,\,\,\,\,\,(1)\)

Vì tia OC nằm giữa hai tia OA và OB

$ \Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {COB} = \widehat {AOB}$$ \Rightarrow {90^0} + \widehat {COB} = {140^0}$

$ \Rightarrow \widehat {COB} = {140^0} - {90^0} = {50^0}\,\,\,\,\,\,(2)$

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {BOC} = {50^0}\)

Vì tia $Om$  nằm giữa hai tia $Ox$  và $Oy.$

$ \Rightarrow \widehat {xOm} + \widehat {mOy} = \widehat {xOy} \Rightarrow {30^0} + \widehat {mOy} = {90^0}$

$ \Rightarrow \widehat {mOy} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\,\,\,\,\,$

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia $Oy$ có : \(\widehat {nOy} < \widehat {mOy}\,\,\left( {{{30}^0} < {{60}^0}} \right)\)

Suy ra tia $On$  nằm giữa hai tia $Om$  và $Oy.$

$ \Rightarrow \widehat {nOy} + \widehat {mOn} = \widehat {mOy} \Rightarrow {30^0} + \widehat {mOn} = {60^0}$

$ \Rightarrow \widehat {mOn} = {60^0} - {30^0} = {30^0}$

$ \Rightarrow \widehat {xOm} = \widehat {mOn} = {30^0}$ và tia $Om$  nằm giữa hai tia $Ox$  và $On.$

Vậy $Om$ là tia phân giác của góc $xOn.$

 Vì \(Ox';Oy'\) nằm giữa hai tia $Ox;Oy$ nên \(\widehat {xOy'} + \widehat {yOy'} = \widehat {xOy}\) \( \Rightarrow \widehat {xOy'} + 90^\circ  = 120^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {xOy'} = {30^o}\)  

Tương tự ta có \(\widehat {xOy'} = {30^o}.\)

Vì $Oy$  là tia phân giác của góc $mOz$ nên \(\widehat {mOz} = 2.\widehat {mOy} = {2.60^0} = {120^0}\)

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia $Om$  có: \(\widehat {mOn} < \widehat {mOz}\,\,\left( {{{30}^0} < {{120}^0}} \right)\)

Suy ra tia $On$  nằm giữa hai tia $Om$  và $Oz$

$ \Rightarrow \widehat {mOn} + \widehat {nOz} = \widehat {mOz} \Rightarrow {30^0} + \widehat {nOz} = {120^0}$

$ \Rightarrow \widehat {nOz} = {120^0} - {30^0} = {90^0}$

Vậy $On$  vuông góc với $Oz.$

Vì tia $Om$  nằm giữa hai tia $Ox$  và $Oy.$

$ \Rightarrow \widehat {xOm} + \widehat {mOy} = \widehat {xOy} \Rightarrow {30^0} + \widehat {mOy} = {90^0}$

$ \Rightarrow \widehat {mOy} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\,\,\,\,\,$

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia $Oy$ có : \(\widehat {nOy} < \widehat {mOy}\,\,\left( {{{30}^0} < {{60}^0}} \right)\)

Suy ra tia $On$  nằm giữa hai tia $Om$  và $Oy.$

$ \Rightarrow \widehat {nOy} + \widehat {mOn} = \widehat {mOy} \Rightarrow {30^0} + \widehat {mOn} = {60^0}$

$ \Rightarrow \widehat {mOn} = {60^0} - {30^0} = {30^0}$

$ \Rightarrow \widehat {xOm} = \widehat {mOn} = {30^0}$ và tia $Om$  nằm giữa hai tia $Ox$  và $On.$

Vậy $Om$ là tia phân giác của góc $xOn.$