Tập hợp Q các số hữu tỉ

Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là $Q.$

Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là $N.$

Tập hợp số tự nhiên khác $0$ kí hiệu là $N^*$

 Ta có $- 6 \in \mathbb{Z};-6\notin\mathbb N$ nên D sai.

$\dfrac{2}{3} \in \mathbb{Q};\,\dfrac{2}{3} \notin \mathbb{Z}$ nên B sai.

$- \dfrac{9}{2} \in \mathbb{Q}$ nên C sai

$\dfrac{3}{2} \in \mathbb{Q}$  nên A đúng.

$\begin{array}{l}\dfrac{{ - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{2}{3} > 0\,;\\\dfrac{{ - 2}}{5}\, < 0\,;\,\dfrac{{ - 5}}{{15}} < 0\,\,;\,\dfrac{2}{{ - 15}} < 0.\end{array}$

Vậy số hữu tỉ dương là $\dfrac{{ - 2}}{{ - 3}}.$

Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ trong đó $a,b \in Z\,;b \ne 0.$

Biểu diễn số $- \dfrac{2}{3}$ trên trục số ta được:

$\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{9}{{12}} = \dfrac{3}{4}\,;\,\dfrac{{ - 6}}{{ - 8}} = \dfrac{3}{4}\,;\,\dfrac{{ - 3}}{{ - 4}} = \dfrac{3}{4}.$

Vậy phân số không bằng phân số $\dfrac{3}{4}$ là $\dfrac{6}{9}.$

(I) đúng

(II) sai vì số hữu tỉ dương chưa chắc lớn hơn số tự nhiên. Ví dụ: $\dfrac{5}{4} < 2$ .

(III) sai vì số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm

(IV) đúng vì mọi số nguyên dương đều là số hữu tỉ với mẫu số là $1$.

Vậy có hai câu đúng.

Vì $- 1 >  - 3 >  - 9 >  - 11 >  - 12 >  - 14 >  - 16$

Nên ta có $\dfrac{{ - 1}}{{17}} > \dfrac{{ - 3}}{{17}} > \dfrac{{ - 9}}{{17}} > \dfrac{{ - 11}}{{17}} > \dfrac{{ - 12}}{{17}} > \dfrac{{ - 14}}{{17}} > \dfrac{{ - 16}}{{17}}$

Phần bù với $1$ của các số $\dfrac{7}{8};\dfrac{2}{3};\dfrac{3}{4};\dfrac{{18}}{{19}};\dfrac{{27}}{{28}}$ lần lượt là $\dfrac{1}{8};\,\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{{19}};\dfrac{1}{{28}}$

Mà $28 > 19 > 8 > 4 > 3$ nên $\dfrac{1}{{28}} < \dfrac{1}{{19}} < \dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{3}$

Suy ra $\dfrac{{27}}{{28}} > \dfrac{{18}}{{19}} > \dfrac{7}{8} > \dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3}$

Số hữu tỉ lớn nhất là: $\dfrac{{27}}{{28}}$

Ta có $x = \dfrac{2}{{ - 5}} = \dfrac{{2.\left( { - 13} \right)}}{{\left( { - 5} \right).\left( { - 13} \right)}} = \dfrac{{ - 26}}{{65}}$  và $y = \dfrac{{ - 3}}{{13}} = \dfrac{{ - 3.5}}{{13.5}} = \dfrac{{ - 15}}{{65}}$

Mà $- 26 <  - 15 \Rightarrow \dfrac{{ - 26}}{{65}} < \dfrac{{ - 15}}{{65}}$ hay $x < y$ .

Ta có $x = \dfrac{{2002}}{{2003}} < \dfrac{{2003}}{{2003}} = 1$ hay $x < 1$

Và $y = \dfrac{{14}}{{13}} > \dfrac{{13}}{{13}} = 1$ hay $y > 1$

Từ đó suy ra $y > 1 > x$ hay $y > x$ .

$0,25 = \dfrac{{25}}{{100}} = \dfrac{1}{4};\dfrac{{ - 25}}{{ - 100}} = \dfrac{1}{4};\dfrac{5}{{20}} = \dfrac{1}{4}.$

Nên $\dfrac{1}{4} = 0,25 = \dfrac{{ - 25}}{{ - 100}} = \dfrac{5}{{20}}$

Do đó các số $\dfrac{1}{4};0,25\,;\,\dfrac{{ - 25}}{{ - 100}}\,;\,\dfrac{5}{{20}}$ được biểu diễn cùng một điểm trên trục số.

$\dfrac{{14}}{{18}} = \dfrac{7}{9}\,;\,\dfrac{{24}}{{26}} = \dfrac{{12}}{{13}}\,\,;\,\dfrac{{72}}{{78}} = \dfrac{{12}}{{13}}.$

Ta có $\dfrac{{26}}{{ - 28}} < 0 < \dfrac{{12}}{{13}};\,\dfrac{{ - 28}}{{30}} < 0 < \dfrac{{12}}{{13}}$ ; $\dfrac{7}{9} = \dfrac{{91}}{{117}} < \dfrac{{108}}{{117}} = \dfrac{{12}}{{13}}$

Vậy có 2 phân số bằng phân số $\dfrac{{12}}{{13}}$ là: $\dfrac{{24}}{{26}}\,;\,\dfrac{{72}}{{78}}.$

Để $x = \dfrac{{a - 3}}{2}$ là số nguyên dương thì $\left( {a - 3} \right) > 0$ và $\left( {a - 3} \right) \vdots 2$

Giả sử $a - 3 = 2k\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ suy ra $a = 3 + 2k\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Vì số hữu tỉ $0$ không là số dương cũng không là số âm nên để $y = \dfrac{{2a - 1}}{{ - 3}}$  không dương cũng không âm thì

$y = 0$ suy ra $\dfrac{{2a - 1}}{{ - 3}} = 0$ $\Rightarrow 2a - 1 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}$ .