Tia phân giác của một góc

Nếu  $\widehat {xOt} = \widehat {yOt}$ và tia $Ot$ nằm giữa hai tia $Ox;Oy$ thì tia $Ot$ là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ nên C sai, D đúng.

Tia phân giác của một góc là tia nằm trong góc ấy và chia góc thành hai phần bằng nhau.

Vì tia $Ot$ là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ nên $\widehat {xOt} = \widehat {yOt} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{{{80}^o}}}{2} = {40^o}$.

Ta có: $\widehat {xOy}$ là góc bẹt nên $\widehat {xOy} = {180^o}$.

Vì tia $On$ là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ nên $\widehat {xOn} = \widehat {nOy} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{{{180}^o}}}{2} = {90^o}$.

Vì tia $On$ là tia phân giác của $\widehat {mOt}$ nên $\widehat {mOn} = \widehat {nOt} = \dfrac{{\widehat {mOt}}}{2}$

$\Rightarrow \widehat {mOt} = 2.\widehat {mOn} = {2.55^o} = {110^o}$.

Vì tia $OB$ là tia phân giác của góc $AOC$ nên $\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \dfrac{{\widehat {AOC}}}{2}$

Do đó $\widehat {AOC} = 2.\widehat {AOB} = {2.45^o} = {90^o}$

Vậy góc $AOC$ là góc vuông.

Vì tia $OA$ là tia phân giác của $\widehat {BOC}$ nên ta có: $\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \dfrac{{\widehat {BOC}}}{2}$  

mà $\widehat {AOC} = {75^0}$ nên $\widehat {AOB} = {75^o}$; $\,\widehat {BOC} = 2.\widehat {AOC} = {2.75^o} = {150^o}$

Vậy $\widehat {AOB} = {75^o};\,\widehat {BOC} = {150^o}$.

Theo câu trước ta có: tia $OA$ là tia phân giác của $\widehat {BOC}$ nên

$\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \dfrac{{\widehat {BOC}}}{2}$ hay $\widehat {BOC} = 2.\widehat {AOC} = {2.54^o} = {108^o}$.

Vì $\widehat {AOB},\;\widehat {AOC}$ kề với nhau và $\widehat {AOB} + \widehat {AOC} = {54^o} + {54^o} = {108^0} < {180^o}$ nên tia $OA$ nằm giữa hai tia $OB;OC$.

Mặt khác: $\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = {54^0}$ (theo đề bài)

Do đó tia $OA$ là tia phân giác của $\widehat {BOC}$.

Vì $\widehat {AOB}$ và $\widehat {AOC}$ không kề nhau nên hai tia $OC;OB$ thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia $OA$. Lại có $\widehat {AOB} < \widehat {AOC}\,\left( {\,do\,\,{{68}^o} < {{136}^o}} \right)$ nên tia $OB$ nằm giữa hai tia $OA$ và $OC.$ (1)

Khi đó $\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = \widehat {AOC}\,$ hay $\widehat {BOC} = \widehat {AOC} - \widehat {AOB} = {136^o} - {68^o} = {68^o}$

Mà $\widehat {AOB} = {68^0}$ suy ra $\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = {68^o}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia $OB$ là tia phân giác của góc $AOC.$

Vậy A, B, D đúng và C sai. 

Vì tia $Ot$  là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ thì $\widehat {xOt} = \widehat {yOt} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ$ 

Vì $\widehat {xOy}$ và $\widehat {yOz}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 180^\circ$

mà $\widehat {xOy} = {112^o}$ suy ra $\widehat {yOz} = {180^o} - \widehat {xOy} = {180^o} - {112^o} = {68^o}$.

Vì tia $Ot$ là tia phân giác của $\widehat {yOz}$ nên $\widehat {zOt} = \dfrac{1}{2}\widehat {yOz} = \dfrac{1}{2}{.68^o} = {34^o}$

Ta có: $\widehat {zOt};\,\widehat {tOx}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {zOt} + \widehat {tOx} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {tOx} = 180^\circ  - \widehat {zOt}$$= 180^\circ  - 34^\circ  = 146^\circ .$

Vậy $\widehat {tOx} = 146^\circ .$

Vì tia $OM$ là tia phân của góc $BOC$ nên $\widehat {BOM} = \widehat {COM} = \dfrac{{\widehat {BOC}}}{2}$

Mà $\widehat {BOM} = {25^o}$ suy ra $\widehat {COM} = {25^o}$; $\widehat {BOC} = 2.\widehat {BOM} = 2.25^\circ  = 50^\circ$

Vì tia $OB$ là tia phân giác của $\widehat {AOC}$ nên $\widehat {BOC} = \dfrac{{\widehat {COA}}}{2}$ hay $\widehat {COA} = 2.\widehat {BOC} = 2.50^\circ  = 100^\circ$.

Ta có: tia $OM$ và tia $OA$ nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia $OC$ và $\widehat {COM} < \widehat {COA}\,(do\,{25^o} < {100^o})$ nên tia $OM$ nằm giữa hai tia $OA$ và $OC$.

Do đó $\widehat {COM} + \widehat {MOA} = \widehat {COA} \Rightarrow \widehat {MOA} = \widehat {COA} - \widehat {COM} = {100^o} - {25^o} = {75^o}$.

+ Vì $\widehat {xOy}$ và $\widehat {yOz}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 180^\circ$ mà $\widehat {xOy} = 130^\circ$ nên $\widehat {yOz} = 180^\circ  - \widehat {xOy} = 180^\circ  - 130^\circ  = 50^\circ$

+ Vì tia $Om$ nằm trong góc $\widehat {yOz}$ nên tia $Om$ nằm giữa hai tia $Oy;Oz$ (1)

Khi đó $\widehat {yOm} + \widehat {mOz} = \widehat {yOz}$ suy ra $\widehat {mOz} = \widehat {yOz} - \widehat {yOm}$

Theo câu trước ta có: $\widehat {yOm} = 25^\circ$ nên $\widehat {mOz} = 50^\circ  - 25^\circ  = 25^\circ$

Do đó $\widehat {mOz} = \widehat {yOm} = 25^\circ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia $Om$ là tia phân giác của $\widehat {yOz}$.

Vì Ot là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ nên $\widehat {tOy} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{130^\circ }}{2} = 65^\circ$.

Ta có: tia $Oy$ và tia $Om$ nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia $Ot$ và $\widehat {tOy} < \widehat {tOm}\,(do\,{65^o} < {90^o})$ nên tia $Oy$ nằm giữa hai tia $Om;Ot$.

Do đó $\widehat {tOy} + \widehat {yOm} = \widehat {tOm}$ hay $\widehat {yOm} = \widehat {tOm} - \widehat {tOy} = 90^\circ  - 65^\circ  = 25^\circ$.

Vậy $\widehat {yOm} = 25^\circ$.

Theo câu trước ta có: $\widehat {xOz} = 75^\circ$.

Vì tia $Om$ và tia $Oz$ nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia $Ox$ và $\widehat {xOm} < \widehat {xOz}\,\left( {35^\circ  < 75^\circ } \right)$  nên

tia $Om$ nằm giữa hai tia $Oz$ và $Ox$.

Do đó $\widehat {xOm} + \widehat {mOz} = \widehat {xOz} \Rightarrow \widehat {mOz} = \widehat {xOz} - \widehat {xOm} = 75^\circ  - 35^\circ  = 40^\circ$

Theo câu trước ta có: $\widehat {nOz} = 40^\circ$ suy ra $\widehat {mOz} = \widehat {nOz} = 40^\circ$ (1)

Vì $On$ nằm giữa hai tia $Oy;Oz$ (theo câu trước) và tia $Om$ nằm giữa hai tia $Ox;Oz$ (cmt) nên tia $Oz$ nằm giữa hai tia $Om;On$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia $Oz$ là tia phân giác của $\widehat {mOn}$.

Vì tia $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$ nên $\widehat {xOz} = \widehat {yOz} = \dfrac{1}{2}\widehat {xOy} = \dfrac{1}{2}.150^\circ  = 75^\circ$

Ta có: tia $On$ và tia $Oz$ nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia $Oy$ và $\widehat {yOn} < \widehat {yOz}\,\left( {35^\circ  < 75^\circ } \right)$ nên

tia $On$ nằm giữa hai tia $Oy;Oz$.

Do đó $\widehat {yOn} + \widehat {nOz} = \widehat {yOz}$ $\Rightarrow \widehat {nOz} = \widehat {yOz} - \widehat {yOn} = 75^\circ  - 35^\circ  = 40^\circ$.

Giả sử tia $On$ là tia phân giác của góc $yOm$. Khi đó ta có hình vẽ sau:

Vì $\widehat {xOm};\widehat {yOm}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOm} + \widehat {yOm} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {yOm} = 180^\circ  - \widehat {xOm}$ $= 180^\circ  - 82^\circ  = 98^\circ$.

Vì tia $On$ là tia phân giác của góc $yOm$ nên $\widehat {yOn} = \dfrac{{\widehat {yOm}}}{2} = \dfrac{{{{98}^o}}}{2} = {49^o}$

Vậy $a = 49 \cdot$.

Vì $\widehat {AOB};\,\widehat {BOC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {AOC} = 180^\circ$ hay $OA;OC$ là hai tia đối nhau.

Suy ra hai góc $\widehat {MOC};\widehat {MOA}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {MOA} + \widehat {MOC} = 180^\circ   \,\,(1)$

Theo đề bài ta có: $5\widehat {COM} = 7\widehat {AOM} \Rightarrow \widehat {COM} = \dfrac{7}{5}\widehat {AOM}$ thay vào $(1)$ ta được:

$\widehat {MOA} + \dfrac{7}{5}.\widehat {MOA} = 180^\circ  \Rightarrow \dfrac{{12}}{5}.\widehat {MOA} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {MOA} = {75^o}$

Vì $OM$ là tia phân giác của góc $BOA$ nên $\widehat {BOA} = 2.\widehat {MOA} = 2.75^\circ  = 150^\circ$

Lại có: $\widehat {AOB};\,\widehat {BOC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {AOB} + \,\widehat {BOC} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {BOC} = 180^\circ  - \widehat {AOB} = 180^\circ  - 150^\circ  = 30^\circ$

Vậy $\widehat {BOC} = 30^\circ$.

Vì tia $OA$ là tia phân giác của $\widehat {BOC}$ (theo câu trước) nên

$\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \dfrac{{\widehat {BOC}}}{2}$ hay $\widehat {BOC} = 2.\widehat {AOC} = 2.65^\circ  = 130^\circ$.