Góc ở vị trí đặc biệt

 Vì hai đường thẳng $zz'$  và $tt'$  cắt nhau tại $A$  nên $Az'$  là tia đối của tia $Az,At'$ là tia đối của tia $At.$ Vậy góc đối đỉnh với $\widehat {zAt'}$ là $\widehat {z'At}$.

Vẽ $\widehat {x'By'}$ là góc đối đỉnh với $\widehat {xBy}$. Khi đó:

$\widehat {x'By'} = \widehat {xBy} = {60^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì hai đường thẳng $xx'$  và $yy'$  cắt nhau tại $O$  nên $Ox'$  là tia đối của tia $Ox;Oy'$ là tia đối của tia $Oy.$

Suy ra $\widehat {xOy}$ và $\widehat {x'Oy'}$ ; $\widehat {x'Oy}$ và $\widehat {xOy'}$ là hai cặp góc đối đỉnh.

Do đó $\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 45^\circ$ và $\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'}$

Lại có $\widehat {xOy}$ và $\widehat {x'Oy}$ là hai góc ở vị trí kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {x'Oy} = 180^\circ$$\Rightarrow 45^\circ  + \widehat {x'Oy} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 180^\circ  - 45^\circ$

$\Rightarrow \widehat {x'Oy} = 135^\circ$

Vậy $\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 45^\circ$ và $\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'} = 135^\circ .$

Suy ra A, B, C đúng, D sai.

Ta có $\widehat {zOt} + \widehat {tOz'} = 180^\circ$ (hai góc kề bù) mà $\widehat {tOz'} = 4.\widehat {tOz}$ $\Rightarrow \widehat {zOt} + 4.\widehat {zOt} = 180^\circ$ $\Rightarrow 5.\widehat {zOt} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {zOt} = 36^\circ$

Vì  $\widehat {tOz}$ và $\widehat {t'Oz'}$  là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {zOt} = \widehat {z'Ot'} = 36^\circ .$

${\widehat O_2} = {\widehat O_1} = {165^o}$ (tính chất hai góc đối đỉnh)

Góc ${O_1}$  và góc ${O_4}$ là hai góc kề bù

$\Rightarrow {\widehat O_1} + {\widehat O_4} = {180^o}$

$\Rightarrow {\widehat O_4} = {180^o} - {\widehat O_1}$

$\Rightarrow {\widehat O_4} = {180^o} - {165^o} = {15^o}$

${\widehat O_3} = {\widehat O_4} = {15^o}\,$ (hai góc đối đỉnh)

Vì hai đường thẳng $xx'$  và $yy'$  cắt nhau tại $O$  nên $Ox'$  là tia đối của tia $Ox;Oy'$ là tia đối của tia $Oy.$

Suy ra $\widehat {xOy}$ và $\widehat {x'Oy'}$ ; $\widehat {x'Oy}$ và $\widehat {xOy'}$ là hai cặp góc đối đỉnh.

Do đó $\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 35^\circ$ và $\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'}$

Lại có $\widehat {xOy}$ và $\widehat {x'Oy}$ là hai góc ở vị trí kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {x'Oy} = 180^\circ$$\Rightarrow 35^\circ  + \widehat {x'Oy} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 180^\circ  - 35^\circ$

$\Rightarrow \widehat {x'Oy} = 145^\circ$

Vậy $\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 45^\circ$ và $\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'} = 145^\circ .$

Hai góc có số đo bằng ${145^o}$  là : $\widehat {xOy'}\,\,;\,\,\widehat {x'Oy}$

Vì $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $O$ nên $OA$ và $OB$ là hai tia đối nhau, $OC$ và $OD$ là hai tia đối nhau.

Vì $OM$ là tia phân giác $\widehat {COA}$ nên $\widehat {AOM} = \widehat {COM} = \dfrac{{\widehat {COA}}}{2} = \dfrac{{60}}{2} = 30^\circ$

Mà $ON$ và $OM$ là hai tia đối nhau nên $\widehat {AOM}$ và $\widehat {BON}$ là hai góc đối đỉnh; $\widehat {COM}$ và $\widehat {DON}$ là hai góc đối đỉnh

Suy ra $\widehat {AOM} = \widehat {BON} = 30^\circ ;\widehat {COM} = \widehat {DON} = 30^\circ$ hay $\widehat {BON} = \widehat {DON} = 30^\circ .$

Vì $\widehat {AOD}$ và $\widehat {AOC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {AOD} + \widehat {AOC} = 180^\circ$ mà $\widehat {AOC} - \widehat {AOD} = 50^\circ$

Nên $\widehat {AOC} = \dfrac{{180^\circ  + 50^\circ }}{2} = 115^\circ$ và $\widehat {AOD} = 180^\circ  - \widehat {AOC} = 65^\circ$

Mà $\widehat {AOD}$ và $\widehat {BOC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {BOC} = \widehat {AOD} = 65^\circ .$

Lại có $\widehat {BOD}$ và $\widehat {AOC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat {BOD} = \widehat {AOC} = 115^\circ .$

Vậy $\widehat {BOD} = \widehat {AOC} = 115^\circ ;\,\widehat {BOC} = \widehat {AOD} = 65^\circ .$