Đại lượng tỉ lệ nghịch

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $y = \dfrac{a}{x}$ ($a\ne 0$) thì ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$  theo hệ số tỉ lệ $a.$ 

Nếu hai đại lượng $y$ và $x$ tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ $a$  thì:

${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a$

$\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{{{y_2}}}{{{y_1}}};\dfrac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \dfrac{{{y_3}}}{{{y_1}}};...$

Vì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có $7.4 = 5.y \Rightarrow y = \dfrac{{28}}{5} = 5,6.$

Vì $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và $x =  - \dfrac{1}{2}$ thì $y = 8$

Nên hệ số tỉ lệ là $a = x.y = \left( { - \dfrac{1}{2}} \right).8 =  - 4$

Công thức biểu diễn $y$ theo $x$ là $y = \dfrac{{ - 4}}{x}$

Vậy $a =  - 4;y = \dfrac{{ - 4}}{x}.$

Vì  $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch  nên${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}$ mà ${x_1} = 4,{x_2} = 3$ và ${y_1} + {y_2} = 14$

Do đó $4{y_1} = 3{y_2} \Rightarrow \dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

$\dfrac{{{y_1}}}{3} = \dfrac{{{y_2}}}{4} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{{3 + 4}} = \dfrac{{14}}{7} = 2$

Do đó $\dfrac{{{y_1}}}{3} = 2 \Rightarrow {y_1} = 6$; $\dfrac{{{y_2}}}{4} = 2 \Rightarrow {y_2} = 8$

Vậy ${y_2} = 8.$

Vì  $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch  nên${x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}$ mà ${x_2} =  - 4,{y_1} =  - 10$ và $3{x_1} - 2{y_2} = 32$

Nên ta có ${x_1}.\left( { - 10} \right) = \left( { - 4} \right).{y_2}$ $\Rightarrow \dfrac{{{x_1}}}{{ - 4}} = \dfrac{{{y_2}}}{{ - 10}} = \dfrac{{3{x_1} - 2{y_2}}}{{3.\left( { - 4} \right) - 2.\left( { - 10} \right)}}$ $= \dfrac{{32}}{8} = 4$

Do đó $\dfrac{{{x_1}}}{{ - 4}} = 4 \Rightarrow {x_1} =  - 16$  và $\dfrac{{{y_2}}}{{ - 10}} = 4 \Rightarrow {y_2} =  - 40$

Vậy ${x_1} =  - 16;{y_2} =  - 40.$

Từ bài ra ta có: $v.t = 135 \Rightarrow v = \dfrac{{135}}{t};\,t = \dfrac{{135}}{v}$

Nên $v$ và $t$ là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ $135.$  

Gọi thời gian $40$ công nhân làm một công việc đó là $x\left( {x > 0} \right)$ (giờ)

Vì số công nhân và thời gian làm của công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên theo bài ra ta có:

$8.30 = 40.x$ $\Rightarrow 40x = 240 \Rightarrow x = 6$ giờ.

Vậy $40$công nhân thì công việc đó được hoàn thành trong 6 giờ.

Vì  $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo tỉ số ${k_1}\left( {{k_1} \ne 0} \right)$ nên $y = \dfrac{{{k_1}}}{x}$

Và $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo tỉ số ${k_2}\left( {{k_2} \ne 0} \right)$ nên $x = \dfrac{{{k_2}}}{z}$

Thay $x = \dfrac{{{k_2}}}{z}$ vào $y = \dfrac{{{k_1}}}{x}$ ta được $y = \dfrac{{{k_1}}}{{\dfrac{{{k_2}}}{z}}} = \dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}z$

Nên $y$ tỉ lệ thuận với $z$ theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{{{k_1}}}{{{k_2}}}.$

Đổi $2$ giờ $15$ phút $= 2,25$ giờ.

Gọi thời gian ô tô chạy A đến B với vận tốc $45$ km/h  là $x\,\left( {x > 0} \right)$ (giờ)

Vì quãng đường đi không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có $50.2,25 = 45.x \Rightarrow 45x = 112,5$$\Rightarrow x = 2,5$ giờ.

Vậy thời gian cần tìm là $2,5$ giờ.

Gọi số máy cày của ba đội lần lượt là $x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)$

Vì diện tích ba cánh đồng là như nhau nên thời gian và số máy cày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có: $x.4 = y.6 = z.8$ và $x - y = 2$

Suy ra $\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4}$ . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\dfrac{x}{6} = \dfrac{y}{4} = \dfrac{{x - y}}{{6 - 4}} = \dfrac{2}{2} = 1$

Do đó $x = 6;y = 4$ .

Vậy đội thứ nhất có $6$ máy.

Gọi thời gian để hoàn thành công việc sau khi tăng thêm $15$ công nhân là  $x\,\left( {0 < x < 12} \right)$ (giờ)

Từ bài ra ta có số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Nếu tăng thêm $15$ công nhân thì số công nhân sau khi tăng là $45 + 15 = 60$ công nhân.

Theo bài ra ta có

$45.12 = 60.x \Rightarrow 60x = 540 \Rightarrow x = 9$ giờ.

Do đó thời gian hoàn thành công việc giảm đi $12 - 9 = 3$ giờ.

Gọi ${v_1};{v_2}$ lần lượt là vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai. (km/giờ)  $\left( {{v_1};{v_2} > 0} \right)$

Gọi ${t_1};{t_2}$ lần lượt là thời gian của xe thứ nhất và xe thứ hai. (giờ) $\left( {{t_1};{t_2} > 0} \right)$

Từ đề bài ta có ${v_1} = \dfrac{{60}}{{100}}{v_2} \Rightarrow {v_1} = \dfrac{3}{5}{v_2}$ và ${t_1} = {t_2} + 4$

Vì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có

${v_1}.{t_1} = {v_2}.{t_2}$$\Rightarrow \dfrac{3}{5}{v_2}\left( {{t_2} + 4} \right) = {v_2}.{t_2}$$\Rightarrow \dfrac{3}{5}{v_2}.{t_2} + \dfrac{{12}}{5}{v_2} = {v_2}.{t_2}$

$\Rightarrow 12{v_2} = 2{v_2}{t_2}$ mà ${v_2} > 0$ nên ${t_2} = \dfrac{{12{v_2}}}{{2{v_2}}} = 6$

Vậy thời gian người thứ hai đi từ A đến B là 6 giờ.

Vì $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{4}{3}$ nên $y = \dfrac{4}{3}x.$

Vì $x$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{6}{7}$ nên $x = \dfrac{6}{{7z}}$

Thay $x = \dfrac{6}{{7z}}$ vào $y = \dfrac{4}{3}x$ ta được $y = \dfrac{4}{3}.\dfrac{6}{{7z}} = \dfrac{8}{{7z}}$ hay $y.z = \dfrac{8}{7}.$

Do đó $y$ tỉ lệ nghịch với $z$ theo hệ số tỉ lệ $\dfrac{8}{7}.$

Đổi $24$ phút $= \dfrac{2}{5}$ giờ, $10$ phút $= \dfrac{1}{6}$ giờ.

Gọi vận tốc khi đi bộ của Mai là $x\,\left( {x > 0} \right)$ (km/h).

Vì quãng đường đi không đổi nên vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Theo bài ra ta có $\dfrac{2}{5}.x = \dfrac{1}{6}.12 \Rightarrow \dfrac{2}{5}x = 2 \Rightarrow x = 5$ (km/h).

Vậy vận tốc khi đi bộ của Mai là $5$ km/h.

Gọi khối lượng của bốn loại cà phê lần lượt là $x,y,z,t\,\left( {kg} \right)$, $\left( {0 < x,y,z,t < 300} \right)$.

Tổng số cà phê bốn loại là $300kg$ nên $x + y + z + t = 300.$

Vì khối lượng cà phê loại 1, loại 2, loại 3, loại 4 tỉ lệ nghịch với $4;3;2;1$ nên ta có:

$4x = 3y = 2z = t$ hay $\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{3}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{t}{1}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{3}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{t}{1} = \dfrac{{x + y + z + t}}{{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} + 1}} = \dfrac{{300}}{{\dfrac{{25}}{{12}}}} = 144$

Vậy $x = \dfrac{1}{4}.144 = 36$

        $y = \dfrac{1}{3}.144 = 48$

        $z = \dfrac{1}{2}.144 = 72$

        $t = 1.144 = 144$

Khối lượng cà phê loại $4$ là $144$ kg.

Gọi thời gian hoàn thành công việc của cơ sở sản xuất ban đầu và sau khi cải tiến kĩ thuật  lần lượt là ${t_1},\,{t_2}\,\left( {{t_1},{t_2} > 0} \right)$ (giờ), năng suất lao động của công nhân là ${x_1}\,\left( {{x_1} > 0} \right)$ (sản phẩm/ giờ).

Năng suất lao động của công nhân sau khi cải tiến kĩ thuật là ${x_2} = {x_1} + \dfrac{{25}}{{100}}{x_1} = \dfrac{{5{x_1}}}{4}$ (sản phẩm/ giờ).

Vì năng suất công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

${x_1}.{t_1} = {x_2}.{t_2}$ $\Rightarrow {x_1}.{t_1} = \dfrac{{5{x_1}}}{4}.{t_2}$ $\Rightarrow {t_2} = \dfrac{{{x_1}.{t_1}}}{{\dfrac{5}{4}{x_1}}} = \dfrac{4}{5}{t_1} = \dfrac{{80}}{{100}}{t_1} = 80\% \,{t_1}.$

Do đó thời gian hoàn thành công việc sau khi cải tiến kĩ thuật bằng $80\%$ thời gian lúc đầu.

Vậy thời gian làm việc sau khi cải tiến kĩ thuật giảm $100\%  - 80\%  = 20\%$.

Gọi thời gian hoàn thành công việc của ba đội lần lượt là ${t_1},{t_2},{t_3}\,\left( {{t_1},{t_2},{t_3} > 0} \right)$ (ngày).

Gọi số công nhân của ba đội lần lượt là ${x_1},{x_2},{x_3}\,\left( {{x_1},{x_2},{x_3} \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ (người).

Theo đề bài, tổng số công nhân của đội 1 và đội 2 gấp 5 lần số công nhân của đội 3 nên ta có ${x_1} + {x_2} = 5{x_3}$

Vì số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

${x_1}.{t_1} = {x_2}.{t_2} = {x_3}.{t_3}$ hay $\dfrac{{{x_1}}}{{\dfrac{1}{{{t_1}}}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{\dfrac{1}{{{t_2}}}}} = \dfrac{{{x_3}}}{{\dfrac{1}{{{t_3}}}}}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{{{x_1}}}{{\dfrac{1}{{{t_1}}}}} = \dfrac{{{x_2}}}{{\dfrac{1}{{{t_2}}}}} = \dfrac{{{x_3}}}{{\dfrac{1}{{{t_3}}}}} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{{\dfrac{1}{{{t_1}}} + \dfrac{1}{{{t_2}}}}} = \dfrac{{5{x_3}}}{{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{{5{x_3}}}{{\dfrac{5}{{12}}}} = 12{x_3}$

$\Rightarrow \dfrac{{{x_3}}}{{\dfrac{1}{{{t_3}}}}} = 12{x_3} \Rightarrow \dfrac{1}{{{t_3}}}.12{x_3} = {x_3} \Rightarrow {t_3} = \dfrac{{12{x_3}}}{{{x_3}}} = 12$.

Vậy đội 3 làm xong công việc trong $12$ ngày.

Gọi ba phần được chia ra từ số A lần lượt là $x,y,z\,\,\left( {x,y,z\, > 0} \right).$

Theo đề bài, ba phần tỉ lệ nghịch với các số $\dfrac{5}{2};\dfrac{4}{3};6$ nên ta có:

$x.\dfrac{5}{2} = y.\dfrac{4}{3} = z.6$ hay $\dfrac{x}{{\dfrac{2}{5}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{6}}}$

$\Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{{{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)}^2}}} = \dfrac{{{z^2}}}{{{{\left( {\dfrac{1}{6}} \right)}^2}}} \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{\dfrac{4}{{25}}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{9}{{16}}}} = \dfrac{{{z^2}}}{{\dfrac{1}{{36}}}}$

Tổng các bình phương của ba phần là $24309$ nên ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 24309.$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{{{x^2}}}{{\dfrac{4}{{25}}}} = \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{9}{{16}}}} = \dfrac{{{z^2}}}{{\dfrac{1}{{36}}}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{\dfrac{4}{{25}} + \dfrac{9}{{16}} + \dfrac{1}{{36}}}} = \dfrac{{24309}}{{\dfrac{{2701}}{{3600}}}} = 32400$

+) $\dfrac{{{x^2}}}{{\dfrac{4}{{25}}}} = 32400 \Rightarrow {x^2} = 5184 \Rightarrow x = \sqrt {5184}  = 72$ (vì $x > 0$).

+) $\dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{9}{{16}}}} = 32400 \Rightarrow {y^2} = \dfrac{9}{{16}}.32400 = 18225 \Rightarrow y = \sqrt {18225}  = 135$ (vì $y > 0$).

+) $\dfrac{{{z^2}}}{{\dfrac{1}{{36}}}} = 32400 \Rightarrow {z^2} = \dfrac{1}{{36}}.32400 = 900 \Rightarrow z = \sqrt {900}  = 30$ (vì $z > 0$).

$\Rightarrow A = x + y + z = 72 + 135 + 30 = 237.$

Vậy số tự nhiên A là $237.$