Tia phân giác của một góc

+ Vì $\widehat {xOy}$ và $\widehat {yOz}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 180^\circ$ mà $\widehat {xOy} = 120^\circ$ nên $\widehat {yOz} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ$

+ Vì tia $Om$ nằm trong góc $\widehat {yOz}$ nên tia $Om$ nằm giữa hai tia $Oy;Oz$ (1)

Do đó $\widehat {yOm} + \widehat {mOz} = \widehat {yOz}$ suy ra $\widehat {mOz} = \widehat {yOz} - \widehat {yOm} = 60^\circ  - 30^\circ  = 30^\circ$

Hay $\widehat {mOz} = \widehat {yOm} = 30^\circ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia $Om$ là tia phân giác của $\widehat {yOz}$

Trên nửa mặt phẳng bờ $Oy$, vì $\widehat {xOz} = 55^\circ$ (theo câu trước) nên $\widehat {xOm} < \widehat {xOz}\,\left( {30^\circ  < 55^\circ } \right)$ nên tia $Om$ nằm giữa hai tia $Ox;Oz$

Do đó $\widehat {xOm} + \widehat {mOz} = \widehat {xOz} \Rightarrow \widehat {mOz} = 55^\circ  - 30^\circ  = 25^\circ$

Suy ra $\widehat {mOz} = \widehat {nOz} = 25^\circ$ (1)

Vì $On$ nằm giữa hai tia $Oy;Oz$ (theo câu trước) và tia $Om$nằm giữa hai tia $Ox;Oz$ (cmt) nên tia $Oz$nằm giữa hai tia $Om;On$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia $Oz$ là tia phân giác của $\widehat {mOn}$.

Vì $\widehat {AOB},\;\widehat {AOC}$  kề với nhau nên tia $OA$ nằm giữa hai tia $OB;OC$ mà $\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = {65^0}$ nên tia Tia $OA$  là tia phân giác của $\widehat {BOC}$.

Vì $Ot$ là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ nên $\widehat {tOy} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ$.

Lại có tia $Ot$ nằm trong  góc $xOy$ và tia $Om$ nằm trong góc $yOz$ mà hai góc $\widehat {xOy};\,\widehat {yOz}$ là hai góc kề bù nên tia $Oy$ nằm giữa hai tia $Om;Ot$. Do đó $\widehat {tOy} + \widehat {yOm} = \widehat {tOm}$ hay $\widehat {yOm} = 90^\circ  - \widehat {tOy} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ$.

Vậy $\widehat {yOm} = 30^\circ$.

Vì tia $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$ nên $\widehat {xOz} = \widehat {yOz} = \dfrac{1}{2}\widehat {yOx} = \dfrac{1}{2}.110^\circ  = 55^\circ$

Trên nửa mặt phẳng bờ $Oy$ có $\widehat {yOn} < \widehat {yOz}\,\left( {30^\circ  < 55^\circ } \right)$ nên tia $On$ nằm giữa hai tia $Oy;Oz$.

Do đó $\widehat {yOn} + \widehat {nOz} = \widehat {zOy}$ $\Rightarrow \widehat {zOn} = \widehat {zOy} - \widehat {yOn} = 55^\circ  - 30^\circ  = 25^\circ$.

Vì $On$ là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ nên $\widehat {xOn} = \widehat {nOy} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ$

Vì tia $On$  là tia phân giác của $\widehat {mOt}$ nên $\widehat {mOn} = \widehat {nOt} = \dfrac{{\widehat {mOt}}}{2}$

$\Rightarrow \widehat {mOt} = 2.\widehat {mOn} = 2.70^\circ  = 140^\circ$.

Vì tia $OB$ là tia phân giác của góc $AOC$ nên $\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \dfrac{{\widehat {AOC}}}{2}$

Do đó $\widehat {AOC} = 2.\widehat {AOB} = 2.90^\circ  = 180^\circ$

Nên góc $AOC$ là góc bẹt.

Vì tia $OA$  là tia phân giác của $\widehat {BOC}$ nên ta có

$\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \dfrac{{\widehat {BOC}}}{2}$ nên $\widehat {AOB} = 60^\circ ;\,\widehat {BOC} = 2.\widehat {AOC} = 2.60^\circ  = 120^\circ$

Vậy $\widehat {AOB} = 60^\circ ;\,\widehat {BOC} = 120^\circ$.

Vì $\widehat {AOB}$ và $\widehat {AOC}$ không kề nhau nên hai tia $OC;OB$ thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia $OA$. Lại có $\widehat {AOC} < \widehat {AOB}\,\left( {55^\circ  < 110^\circ } \right)$ nên tia $OC$ nằm giữa hai tia $OA$ và $OB.$ (1)

Từ đó $\widehat {AOC} + \widehat {COB} = \widehat {AOB}\,$ hay $\widehat {COB} = \widehat {AOB} - \widehat {AOC} = 110^\circ  - 55^\circ  = 55^\circ$

Suy ra $\widehat {AOC} = \widehat {BOC} = 55^\circ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia $OC$ là tia phân giác góc $AOB.$

Vậy A, B, D đúng và C sai.

Vì $\widehat {xOy}$ và $\widehat {yOz}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 180^\circ$ mà $\widehat {xOy} = 120^\circ$ nên $\widehat {yOz} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ$.

Lại có tia $Ot$ là tia phân giác của $\widehat {yOz}$ nên $\widehat {zOt} = \dfrac{1}{2}\widehat {yOz} = \dfrac{1}{2}.60^\circ  = 30^\circ$

Lại có $\widehat {zOt};\,\widehat {tOx}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {zOt} + \widehat {tOx} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {tOx} = 180^\circ  - \widehat {zOt}$$= 180^\circ  - 30^\circ  = 150^\circ .$

Vậy $\widehat {tOx} = 150^\circ .$

Vì tia $OM$ là tia phân của góc $BOC$

nên $\widehat {BOC} = 2.\widehat {BOM} = 2.35^\circ  = 70^\circ$

Lại có tia $OC$ là tia phân giác của $\widehat {AOB}$ nên $\widehat {AOB} = 2.\widehat {BOC} = 2.70^\circ  = 140^\circ$. Vậy $\widehat {AOB} = 140^\circ$.

Giả sử tia $On$ là tia phân giác của góc $yOm$ thì $\widehat {mOy} = 2.\widehat {yOn} = 2.70^\circ  = 140^\circ$.

Mà hai góc $\widehat {xOm};\widehat {yOm}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOm} + \widehat {yOm} = 180^\circ$$\Rightarrow \widehat {xOm} = 180^\circ  - \widehat {yOm}$ $= 180^\circ  - 140^\circ  = 40^\circ$.

Vậy $a = 40 ^\circ$.

Vì $\widehat {AOB},\;\widehat {AOC}$  kề với nhau nên tia $OA$ nằm giữa hai tia $OB;OC$ mà $\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = {65^0}$ nên tia Tia $OA$  là tia phân giác của $\widehat {BOC}$.

Vì tia $OA$ là tia phân giác của $\widehat {BOC}$ (theo câu trước) nên

$\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \dfrac{{\widehat {BOC}}}{2}$ hay $\widehat {BOC} = 2.\widehat {AOC} = 2.65^\circ  = 130^\circ$.

Vì $Ot$ là tia phân giác của $\widehat {xOy}$ nên $\widehat {tOy} = \dfrac{{\widehat {xOy}}}{2} = \dfrac{{120^\circ }}{2} = 60^\circ$.

Lại có tia $Ot$ nằm trong  góc $xOy$ và tia $Om$ nằm trong góc $yOz$ mà hai góc $\widehat {xOy};\,\widehat {yOz}$ là hai góc kề bù nên tia $Oy$ nằm giữa hai tia $Om;Ot$. Do đó $\widehat {tOy} + \widehat {yOm} = \widehat {tOm}$ hay $\widehat {yOm} = 90^\circ  - \widehat {tOy} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ$.

Vậy $\widehat {yOm} = 30^\circ$.

+ Vì $\widehat {xOy}$ và $\widehat {yOz}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {yOz} = 180^\circ$ mà $\widehat {xOy} = 120^\circ$ nên $\widehat {yOz} = 180^\circ  - 120^\circ  = 60^\circ$

+ Vì tia $Om$ nằm trong góc $\widehat {yOz}$ nên tia $Om$ nằm giữa hai tia $Oy;Oz$ (1)

Do đó $\widehat {yOm} + \widehat {mOz} = \widehat {yOz}$ suy ra $\widehat {mOz} = \widehat {yOz} - \widehat {yOm} = 60^\circ  - 30^\circ  = 30^\circ$

Hay $\widehat {mOz} = \widehat {yOm} = 30^\circ$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia $Om$ là tia phân giác của $\widehat {yOz}$

Vì tia $Oz$ là tia phân giác của góc $xOy$ nên $\widehat {xOz} = \widehat {yOz} = \dfrac{1}{2}\widehat {yOx} = \dfrac{1}{2}.110^\circ  = 55^\circ$

Trên nửa mặt phẳng bờ $Oy$ có $\widehat {yOn} < \widehat {yOz}\,\left( {30^\circ  < 55^\circ } \right)$ nên tia $On$ nằm giữa hai tia $Oy;Oz$.

Do đó $\widehat {yOn} + \widehat {nOz} = \widehat {zOy}$ $\Rightarrow \widehat {zOn} = \widehat {zOy} - \widehat {yOn} = 55^\circ  - 30^\circ  = 25^\circ$.

Trên nửa mặt phẳng bờ $Oy$, vì $\widehat {xOz} = 55^\circ$ (theo câu trước) nên $\widehat {xOm} < \widehat {xOz}\,\left( {30^\circ  < 55^\circ } \right)$ nên tia $Om$ nằm giữa hai tia $Ox;Oz$

Do đó $\widehat {xOm} + \widehat {mOz} = \widehat {xOz} \Rightarrow \widehat {mOz} = 55^\circ  - 30^\circ  = 25^\circ$

Suy ra $\widehat {mOz} = \widehat {nOz} = 25^\circ$ (1)

Vì $On$ nằm giữa hai tia $Oy;Oz$ (theo câu trước) và tia $Om$nằm giữa hai tia $Ox;Oz$ (cmt) nên tia $Oz$nằm giữa hai tia $Om;On$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia $Oz$ là tia phân giác của $\widehat {mOn}$.

Vì tia $Ot$ là phân giác $\widehat {xOy}$ nên $\widehat {yOt} = \widehat {xOt} = \dfrac{1}{2}\widehat {xOy}$ suy ra $\widehat {xOy} = 2.\widehat {tOx}$ (1)

Và tia $Ot'$ là phân giác $\widehat {yOz}$ nên $\widehat {zOt'} = \widehat {xOt'} = \dfrac{1}{2}\widehat {xOz}$ suy ra $\widehat {xOz} = 2.\widehat {t'Ox}$ (2)

Mà $\widehat {xOy};\,\widehat {xOz}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {xOy} + \widehat {xOz} = 180^\circ$ (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra $2.\widehat {tOx} + 2.\widehat {t'Ox} = 180^\circ$ suy ra $2.\left( {\widehat {tOx} + \widehat {t'Ox}} \right) = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {tOx} + \widehat {t'Ox} = 90^\circ$ (4)

Lại có  tia $Ot$ nằm giữa hai tia $Ox;Oy$ và tia $Ot'$ nằm giữa hai tia $Ox;Oz$ nên tia $Ox$ nằm giữa hai tia $Ot;Ot'.$

Do đó $\widehat {tOx} + \widehat {t'Ox} = \widehat {tOt'}$ (5)

Từ (4) (5) suy ra $\widehat {tOx} + \widehat {t'Ox} = \widehat {tOt'} = 90^\circ$.