Tập hợp Q các số hữu tỉ

Ta có: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

Do đó $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$ suy ra A đúng.

Ta có: $3 \in \mathbb{Q}$ nên A đúng.

$\dfrac{5}{3} \in \mathbb{Q}$ nhưng $\dfrac{5}{3} \notin \mathbb{Z}$ nên B sai.

$\dfrac{0}{3} \in \mathbb{Q}$ nên C đúng.

$\dfrac{1}{2} \in \mathbb{Q};\dfrac{1}{2} \notin \mathbb{N}$ nên D đúng.

Ta có: $\dfrac{{11}}{{13}} > 0$; $- \dfrac{{ - 1\,2}}{{15}} = \dfrac{{12}}{{15}} > 0;$ $\dfrac{{ - \,5}}{{ - 7}} = \dfrac{5}{7} > 0;$ $- \dfrac{2}{{15}} < 0$

Vậy số hữu tỉ âm là $- \dfrac{2}{{15}}$.

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0.$

+ Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ điểm $0$ đến điểm $1$) thành $2$ phần bằng nhau, lấy một đoạn làm đơn vị mới thì đơn vị mới bằng $\dfrac{1}{2}$ đơn vị cũ.

+ Số $\dfrac{3}{2}$ được biểu diễn bởi điểm $M$ nằm bên phải điểm $0$ và cách điểm $0$ một đoạn bằng $3$ đơn vị mới.

Ta có: $\dfrac{4}{{10}} = \dfrac{{4:2}}{{10:2}} = \dfrac{2}{5}$;

$- \dfrac{6}{{15}} = \dfrac{{ - 6}}{{15}} = \dfrac{{ - 6:3}}{{15:3}} = \dfrac{{ - 2}}{5} \ne \dfrac{2}{5};$

$- \dfrac{{ - 4}}{{10}} = \dfrac{4}{{10}} = \dfrac{{4:2}}{{10:2}} = \dfrac{2}{5};$

$\dfrac{{ - 6}}{{ - 15}} = \dfrac{6}{{15}} = \dfrac{{6:3}}{{15:3}} = \dfrac{2}{5}$.

Vậy phân số không bằng phân số $\dfrac{2}{5}$ là $- \dfrac{6}{{15}}$.

Ta có: $- 1 = \dfrac{{ - 13}}{{13}};0 = \dfrac{0}{{13}}$

Vì $- 15 <  - 13 <  - 11 <  - 9 < 0 < 4 < 9$  

nên $\dfrac{{ - 15}}{{13}} < \dfrac{{ - 13}}{{13}} < \dfrac{{ - 11}}{{13}} < \dfrac{{ - 9}}{{13}} < \dfrac{0}{{13}} < \dfrac{4}{{13}} < \dfrac{9}{{13}}$ hay $\dfrac{{ - 15}}{{13}} <  - 1 < \dfrac{{ - 11}}{{13}} < \dfrac{{ - 9}}{{13}} < 0 < \dfrac{4}{{13}} < \dfrac{9}{{13}}$.

Phần bù với $1$ của các số $\dfrac{5}{6};\dfrac{{11}}{{12}};\dfrac{{25}}{{26}};\dfrac{{29}}{{30}};\dfrac{8}{9}$ lần lượt là $\dfrac{1}{6};\,\dfrac{1}{{12}};\dfrac{1}{{26}};\dfrac{1}{{30}};\dfrac{1}{9}$

Mà $30 > 26 > 12 > 9 > 6$ nên $\dfrac{1}{{30}} < \dfrac{1}{{26}} < \dfrac{1}{{12}} < \dfrac{1}{9} < \dfrac{1}{6}$

Suy ra $\dfrac{{29}}{{30}} > \dfrac{{25}}{{26}} > \dfrac{{11}}{{12}} > \dfrac{8}{9} > \dfrac{5}{6}$

Vậy số hữu tỉ nhỏ nhất là: $\dfrac{5}{6}$.

Ta có: $a = \dfrac{4}{{15}} = \dfrac{{4.7}}{{15.7}} = \dfrac{{28}}{{105}}$;

$b =  - \dfrac{{ - 8}}{{21}} = \dfrac{8}{{21}} = \dfrac{{8.5}}{{21.5}} = \dfrac{{40}}{{105}}$ 

Vì $28 < 40 \Rightarrow \dfrac{{28}}{{105}} < \dfrac{{40}}{{105}}$ hay $a < b$.

Ta có: $x = \dfrac{{2020}}{{2021}} < \dfrac{{2021}}{{2021}} = 1$ hay $x < 1$;

$y = \dfrac{{1000}}{{999}} > \dfrac{{999}}{{999}} = 1$ hay $y > 1$

Từ đó suy ra $y > 1 > x$ hay $y > x$.

Ta có: $2,5 = \dfrac{{25}}{{10}} = \dfrac{{25:5}}{{10:5}} = \dfrac{5}{2}$;

$\dfrac{{10}}{4} = \dfrac{{10:2}}{{4:2}} = \dfrac{5}{2}$;

$\dfrac{6}{{20}} = \dfrac{{6:2}}{{20:2}} = \dfrac{3}{{10}};$

$0,3 = \dfrac{3}{{10}}$.

Suy ra $\dfrac{3}{{10}} = \dfrac{6}{{20}} = 0,3$ và $2,5 = \dfrac{{10}}{4}$.

Vậy các số: $\dfrac{3}{{10}}$; $2,5$; $\dfrac{{10}}{4}$; $\dfrac{6}{{20}};0,3$ được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt trên cùng một trục số.

Ta có: $\dfrac{{14}}{{22}} = \dfrac{{14:2}}{{22:2}} = \dfrac{7}{{11}};$

$\dfrac{7}{{ - 11}} = \dfrac{{ - 7}}{{11}} \ne \dfrac{7}{{11}};$

$\dfrac{{21}}{{ - 33}} = \dfrac{{ - 21}}{{33}} = \dfrac{{ - 21:3}}{{33:3}} = \dfrac{{ - 7}}{{11}} \ne \dfrac{7}{{11}}$;

$\dfrac{{28}}{{44}} = \dfrac{{28:4}}{{44:4}} = \dfrac{7}{{11}}$;

$\dfrac{{77}}{{121}} = \dfrac{{77:11}}{{121:11}} = \dfrac{7}{{11}}$;

$\dfrac{{ - 55}}{{35}} = \dfrac{{ - 55:5}}{{35:5}} = \dfrac{{ - 11}}{7} \ne \dfrac{7}{{11}}$.

Vậy có ba phân số bằng phân số $\dfrac{7}{{11}}$ là: $\dfrac{{14}}{{22}};\dfrac{{28}}{{44}};\dfrac{{77}}{{121}}$.

Để số hữu tỉ $x = \dfrac{{2a - 6}}{3}$ là số nguyên dương thì $2a - 6 > 0$ và $\left( {2a - 6} \right) \vdots 3$.

Do $\left( {2a - 6} \right) \vdots 3$ nên $2a - 6 = 3k\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$;

Mặt khác $2a - 6 > 0$ $\Rightarrow 3k > 0$ $\Rightarrow k > 0\,\,(k \in \mathbb{Z})$ tức là $k \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy $a = \dfrac{{6 + 3k}}{2}\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ thì $x$ là số nguyên dương.

Vì số hữu tỉ $0$ không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm nên để $y = \dfrac{{9 - 12a}}{{2020}}$ không là số dương và cũng không là số âm thì $y = 0$  $\Rightarrow \dfrac{{9 - 12a}}{{2020}} = 0$ $\Rightarrow 9 - 12a = 0 \Rightarrow 12a = 9 \Rightarrow a = \dfrac{3}{4}$.

Ta có: ${\mathbb{N}^*} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$

Từ đó có đáp án A, B, D đúng và C sai.

Ta có:

 $\begin{array}{l}\frac{{-10}}{{-22}} = \frac{5}{{11}}\\\frac{9}{{33}} = \frac{3}{{11}}\\\frac{-8}{{-11}} = \frac{8}{{11}}\\\frac{{35}}{{55}} = \frac{7}{{11}}\\ \Rightarrow -1<\frac{3}{{11}} < \frac{5}{{11}} < \frac{7}{{11}} < \frac{8}{{11}}<1\,\,\,\,\,\,Hay\,\,\,-1<\frac{9}{{33}} < \frac{{10}}{{22}} < \frac{{35}}{{55}} < \frac{8}{{11}}<1\end{array}$

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần ta được: $-1; \frac{9}{{33}};\frac{{-10}}{{-22}};\frac{{35}}{{55}};\frac{-8}{{-11}}; 1$

Chọn D

(I) đúng

(II) sai vì số hữu tỉ dương chưa chắc lớn hơn số tự nhiên. Ví dụ: $\dfrac{5}{4} < 2$ .

(III) sai vì số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm

(IV) đúng vì mọi số nguyên dương đều là số hữu tỉ với mẫu số là $1$.

Vậy có hai câu đúng.

Vì số hữu tỉ $0$ không là số dương cũng không là số âm nên để $y = \dfrac{{4a - 8}}{{ - 2021}}$  không dương cũng không âm thì

$y = 0$ suy ra $\dfrac{{4a - 8}}{{ - 2021}} = 0$ $\Rightarrow 4a - 8 = 0 \Rightarrow a = 2$ .

Để $x = \dfrac{{a - 5}}{7}$ là số nguyên dương thì $\left( {a - 5} \right) > 0$ và $\left( {a - 5} \right) \vdots 7$

Giả sử $a - 5 = 7k\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ suy ra $a = 5 + 7k\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Ta có:

$\frac{{ - 15}}{{39}} = \frac{{ - 5}}{{13}}$; $\frac{{ - 25}}{{65}} = \frac{{ - 5}}{{13}}$.

Mà: $\frac{{ - 7}}{{ - 26}} = \frac{7}{{26}}$ nên các phân số $\frac{{10}}{{26}};\frac{{35}}{{78}};\frac{{ - 7}}{{ - 26}}$ đều là các phân số dương

       $\frac{{ - 5}}{{13}}$ là phân số âm

=> Các phân số $\frac{{10}}{{26}};\frac{{35}}{{78}};\frac{{ - 7}}{{ - 26}}$ không bằng $\frac{{ - 5}}{{13}}$

Vậy có 2 phân số bằng phân số $\frac{{ - 5}}{{13}}$ là: $\frac{{ - 15}}{{39}}$; $\frac{{ - 25}}{{65}}$